目录：1、数学“深度学习”：学生的建模是“打碎和穿越”2、数学“深度学习”：必要的交流模块的设计在互动环节的作用3、数学“深度学习”：教师介入问题的设计在促使学生深度学习中的作用4、数学“深度学习”：外篇——试卷讲评课想到的数学“深度学习”系列培训之学生的建模是“打碎和穿越”学生的建模不是简单的体验和探究，更不是善意的告知和替代性的总结规律,学生的建模应该是打碎和穿越。

学生的学习都是在必要的情景中完成的，而小学阶段的情景有的时候是重复的，只不过在不同的阶段要掌握的技能和培养能力不同。

这就导致了一种情况，孩子们在使用旧的知识和技能解决问题后就没有了兴趣去学习新的方法和技能，更有甚至，由于老师没有在必要的时机点明本节课的学习目标任务，而恰恰又有“先知”的学生有了用新知识和新技能解决问题的做法，没有经验的老师就让孩子讲了、听了，却没有明确的告诉所有的孩子这就是我们这节课要研究的新内容，那么在学生的心目中，必然会固执的认为这道题用老方法解决干嘛要用我不熟悉的方法来？我不用听、不需再费脑研究了，反正这道题我会。

为了解决这个问题，教师有必要在课堂中点出哪些知识和方法是我们这节课要研究的，要给孩子时间就这个问题再研究，再思考。

在这一点上，如果我们引起了重视，那么我们就可以进一步关注学生的新的建模过程，理解所谓的“打碎”和“穿越”的概念。

分别以四年级和五年级的一道题来解释。

1.牛有20头，牛比羊的3倍多2只，羊有多少头？2.有一瓶糖水500克，其中糖和水的比是1:4，请问这瓶饮料中糖有多少克？第一道题的通常正确做法是（20-2）÷3 ；通常的错误做法是20÷3-2，这其实都是综合法，是建立在数量关系的综合分析上得出来的。

而处理这道题目在四年级，我们希望孩子们能够使用分析法来解决问题，换句话说，这道题最好能让孩子体验到方程解决问题的优越性。

那怎么处理呢？我感觉，首先还是要让孩子们经历综合法的过程，这是有必要的。

在经过学生的交流后，一定会出现依据画图和数量关系的方法来讲解的情况。

在这个基础上，老师要点明，使用传统的思考方法处理这样的题目是有难度的，这一点我们刚才已经体会到了，那么有没有一种简化分析问题的过程的方法呢？我们可以让同学们带着这个要求进行再思考，并进一步提示：如果在这道题目中羊的只数知道了，牛的只数变成问题，解决起来是否还存在刚才的困难呢？既然如此，我们能不能利用四年级学习的新技能，把羊未知的问题巧妙的解决掉呢？使得问题变得容易操作？当学生想到未知数x的时候，教师要点明为了便于观察数量之间的关系，在分析时我们首先应该写出题目中的基本数量关系。

如：羊×3+2=牛写好这个以后，我们让孩子把其他的信息，牛的20只填到关系式里面，就变成了羊×3+2=20老师不要以为孩子就能够懂了，很多孩子任然会停留在综合法的基础上，他们会得出（20-2）÷2=x出现这种情况的原因就是学生的固有的思维模式没有被打碎，在学生的大脑中思考的是如何解决这道题目，那么学生的大脑就会顺着固有的思维台阶一步一步的走向题目，而不是在原有的台阶上做一个调整，这里可以比喻或是加了扶梯或是设了时空穿越门。

这时候老师可以进一步提要求，师：大家提出不知道的量我们要设x，现在我们就把羊设成x只，好了现在我们再写写这个关系是式，是什么？（这个过程就是打碎和穿越的过程，也是给学生重新建模的过程）得出：x×3+2=20这个关系式好面熟，这是个？你们看，我们只是把不知道的数量换成了字母x，就把数量关系式变成了这个样子。

这就——方程。

变成了方程以后，就用到了我们学过的新本领，解方程。

解出的这个x就是我们想要的。

师：你们看用这种方法，与传统的方法比较，我们主要是把解题的重点放在哪里？对，列出数量关系式，确定方程，然后我们把分析这些关系和运算都交给了解方程这个过程。

换句话说，原来的方法，需要进一步分析他们之间的关系，然后决定他们之间如何运算顺序和运算方法。

再以五年级的题目为例，学生一般采用的方式是归一法，或者是按比例分配的方法。

即：500÷（1+4）×……或者 500×1/1+4 等等在原有方法交流的基础上，教师总结，为了方便分析，我们可以写出题目中的数量关系式。

当学生写出：糖：水=1:4 后，教师可以引导学生观察题目中的已知条件，既然已知糖水是500克，那么我们能不能写出糖：糖水= ？从而得出糖：糖水=1:5我们可以试着让孩子把题目中的条件用数换下来糖：500=1:5让孩子利用这个式子来解决问题，你会发现，学生仍然会进一步的确定自己原有的方法，即：归一法 500÷5×1，也会使用前项 1×100 和后项 5×100 这样，比的基本性质来解决。

那么，怎么办？和上面一样，师：我们假设糖是x克，我们把这个关系式再写一遍，X：500=1:5你们发现了什么？是的，我们可以用学到的解比例来完成了。

再比如，在研究这样一道题目。

在一幅1:100图纸上，图上测量的比萨斜塔的高度是54.5厘米，请问它的实际高度是多少米？其中有一个学生就解设实际的高度是x米，结果列出了一个54.5：x=1:100，并进一步得出1x=54.5×100在这个孩子进行了解释以后，就有孩子问怎么等号右边的1:100，就能变成54.5×100呢？孩子说，解比例啊。

提问这个孩子幡然醒悟，明白了。

这个实例就说明虽然我们已经一步步引导孩子写出了方程或比例，但孩子脑子里并没有把当前的实际情况与自己掌握的技能结合，这时候就需要我们老师来点破，当然，能让孩子们自己提出并互相启发解决就更完美了。

师：我们先用条件写出关系式，填上所有的数据后，就神奇的变成了比例（或方程）了，解比例（方程）就可以解决这个问题！在这样的基础上，我们再继续巩固，把以前的他们能用3.4.5年级曾经解决过的题目拿出来，让他们试着写出关系式，直接转换成比例来做，就完成了(打碎和穿越的工作，这样新的模型就在他们的脑子里面顺理成章的建立起来) 其实为什么会说是穿越？我时常感觉学生在解题过程中，那个题目就在那，而题目现在就停留在很多层的空间节点上，空间与空间的穿越是需要打碎的，学生思考问题时的思维一定是在原有空间上移动，想让孩子一下子跳跃到另一个空间再移动到同一个节点上是非常不容易的。

说白了，让孩子换个角度去思考问题是我们培养他们深度学习的一种方法，是我们作为老师要明白的必须的学习原理。

以上的论述就从根本上解释了，为什么有时候上了一节课，尤其是高年级，学生到下课收获甚少，甚至是疑团层层，搞不明白老师在讲什么，只能还是使用的老方法解决问题，而新的知识解决问题的情况不好的主要原因。

而由于新的方法没有掌握，也就是建模失败后，学生后续的学习由于没有新知识做基础，就越发的困难，因为他们是在用第一个空间规律认识第二、第三空间的问题。

学生深度学习系列培训之必要的交流模块的设计在互动环节的作用问题：交流模块的设计被忽视，学生放出去回不来。

其实，我们研究的问题就像一个圆心，而教师设计的交流模块就是一条绳子，我们暂且把学生交流出来的东西认作是这个绳子画出的圆包含的内容，那么这些内容就不会离开研究的问题很远。

比如：四年级在讲轴对称图形时，教师给了孩子不同的平面图形。

让孩子研究对称现象，那么孩子在进行交流时，基本上是这样说的：我这样，两面得到了都是正方形，所以就是对称图形；我这样，我沿着虚线怎么样等等，可以说五花八门，而且老师也不知道该怎么介入，比如：你哪里来的虚线？你说的虚线在哪，怎么确定的？等等问题其实，如果老师设计的交流模块合理，那么需要追问的次数就会较少，也就是说较少了不必要的问题，节省了时间，给学生高度集中注意力的时间提效。

那么该怎么做呢？我们可以试着这么设计交流模块：请介绍你在图形研究对称现象时，做了哪些事（对折或从图形中间划线后对折）；你发现了什么现象（重合）；这个现象说明了什么；你还有什么想和大家交流的。

这个交流指导可以投到屏幕上，也可以清清楚楚地、节奏慢一点的给孩子要求清出。

这样孩子就会在“对折”、“对折后重合”“折痕所在的直线”“对称轴”这些关键的知识点上反复回味、反刍、自悟。

学生深度学习系列培训之教师介入问题的设计在促使学生深度学习中的作用其实想谈的这个问题是很长时间以来困惑我的。

有的时候我也是是懂非懂，总是想把这个东西抓出来，但去做的时候就感觉粘连不清。

后来我觉得，既然我们授课是有目标的，那为什么不开门见山的就告诉孩子，我们这节课来研究什么呢？但后来发现，不但是其他老师，包括我，有时候也会做不到。

我们总是有意无意中就被孩子带跑了，这种现象时有发生，而且我们都不愿意承认，只有上到课中或者下了课看到越来越懒散的学生才知道大部分孩子根本没有听懂我们在干什么。

举一个例子。

二年级的三位数乘一位数的计算。

教师一般会呈现情景窗，让孩子提出问题。

然后学生尝试解决，得到312+312+312=936；312×3=936。

到了这里好多老师就不会讲了，尤其是当绝大部分孩子采用的是312×3=936的时候。

为什么呢？其实还是老师的教学目标不清楚，脑子里想的就是孩子都会做我怎么讲？其实，虽然孩子做出来了，但这里是两种情况的：一是有孩子是用的加法，他们并不知道乘法的过程；二是即便使用乘法做了，这些孩子也只是受到了知识正迁移的影响（两位数乘一位数），具体为什么可以这么做孩子并没有思考。

这时就需要我们老师来完成了。

首先我们得知道就这节课的授课目标。

一个是怎么算（算法），一个是为什么这么算（算理）。

好，现在我们作如下处理。

（如果你细心会发现，大部分的课都可以这样处理）。

师交流设计：说说自己的结果，并讲讲自己的思路。

师介入：对这两种方法，大家怎么看？（这个介入不是每节课都有的）师问题设计（很重要）：既然用乘法简单，我们这节课就来研究像312×3这样的三位数乘一位数的乘法计算，（教师边说边板书课题，这一步很重要，因为这是在告诉孩子我们学习什么知识，我们不是在讲这一道题，这就避免了部分孩子以为我都算对了，老师你怎么还讲？），接着的话更重要了，教师：刚才已经采用乘法的孩子，想一想你是怎样一步步计算出来的？试着先自己说一说为什么这样做？刚才没有采用乘法的孩子，试一试312×3怎样计算，如果算出来，思考一下为什么？这样的问题设计就把本节课的目标讲的非常清楚了，而且对不同采取不同做法的孩子都提出了非常必要合适的要求，而这个要求看似不同，其实是一样的，那就是“孩子们，先说说算法，再说说为什么能这么算”。

接下来其实又涉及到了交流模块的设计了。

在交流的时候，可能孩子直接用横式来介绍，也有可能用竖式来介绍，这都无关紧要。