一次函数与方程、不等式
一、一次函数与一元一次方程的关系
直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b
k
=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b
k
-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。
三、一次函数与二元一次方程（组）的关系
一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）
上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。
知识点睛
一、一次函数与一元一次方程综合
【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．0
【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，
，则a b +=______．
【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接
得到方程3kx b +=的解是x =______．
二、一次函数与一元一次不等式综合
【例4】 已知一次函数25y x =-+．
（1）画出它的图象；
（2）求出当3
2
x =
时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值；
（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <
【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：
（1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．
【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是（ ）
A ．5x >
B ．1
2
x < C ．6x <- D ．6x >-
【例7】 已知一次函数23y x =-+
例题精讲
（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?
（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?
【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则
关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．
【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线
32y x =-上相应点的上方．
【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，
，()12B --，两点，则不等式1
22
x kx b >+>-的解集为______．
【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：
（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <？
（3）当21x -≤≤时，y 的值围； （4）当21y -<<时，x 的值围．
三、一次函数与二元一次方程（组）综合
【例12】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30
220x y x y --=⎧⎨-+=⎩
的解是
________．
【例13】 已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2
3x y =-⎧⎨
=⎩
，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．
【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组732
28x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y =________和
y =________的交点是________．
【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当
3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．
3
【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，
0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．
【例17】 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表
示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图①．
观察图①可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3)就是方程组
1210x x y =⎧⎨
-+=⎩的解，所以这个方程组的解为1
3
x y =⎧⎨=⎩； 在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图②；
21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．
(1)
y=2x+1x=1
x=1
(2)
(3)
回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组1
22
x y x =-⎧⎨
=-+⎩的解；
2
y 1=2x+1
(4)
⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示2220x y x y ≥-⎧⎪
≤-+⎨⎪≥⎩
所围成的区域．
⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .
【例18】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，
，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
【例19】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，
，则0y >时，x 的取值围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <
【例20】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：
（1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．
【例21】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值围是（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x >
D ．2x <
23
O y x
【例22】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值围是（ ）
A ．20y -<<
B ．40y -<<
C ．2y <-
D ．4y <-
2
-4
O
y x
【例23】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b y
mx n y +=⎧⎨+=⎩
的解关于
原点对称的点的坐标是________．
【例24】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的
解集是（ ） A ．2x >- B ．0x > C ．2x <- D ．0x <
【例25】如图，一次函数y ax b
=+的图象经过A、B两点，则关于x的不等式0
+<的
ax b 解集是________．
【例26】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）
A.无解
B.有唯一解
C.有无数个解
D.以上都有可能
【例27】b取什么整数值时，直线32
=-+的交点在第二象限？
y x b
y x b
=++与直线2。