1 04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题：

一、 概念

1、 行列式的 定义

2、 向量组相关与无关的定义

3、 对称阵与反对称阵

4、 可逆矩阵

5、 矩阵的伴随矩阵

6、 基与向量的坐标

7、 矩阵的特征值与特征向量

8、 正定矩阵

9、 矩阵的迹

10、 矩阵的秩

11、 矩阵的合同

12、 二次型与矩阵

13、 齐次线性方程组的基础解系

二、 性质与结论

1、 与向量组相关与无关相关的等价结论

2、 行列式的性质

3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）

4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质

5、 初等变换与初等矩阵的关系

6、 AAAAAE

7、 n维向量空间坐标变换公式

8、 相似矩阵的性质

9、 合同变换

10、 矩阵正定的充要条件

11、 线性方程组解的性质与结构定理

三、复习题及参考答案

1．若三阶行列式1231122331232226aaabababaccc，则

123123123aaabbbccc= 12

2．若方程组123123123000txxxxtxxxxtx有非零解，则t=1。 2 3．已知齐次线性方程组32023020xyxyxyz 仅有零解，则 0

4．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a=2的代数，余子式12A= -1 ；

3.若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E。（ 对 ）

4.行列式0002002316.02342345 （ 对 ）

5.对向量1234,,,，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,线性无关。（ 错 ）

6. 如果A是n阶矩阵且0A，则A的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。（ 对 ）

7. 向量组s,,,21线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（ 对 ）

8 矩阵212111215A是正定的。（ 对 ）

9. n阶矩阵A与B相似，则A与B同时可逆或同时不可逆。（ 对 ）

10．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).aa则当a= 1 或a= 2 时向量组321,,线性相关。（ 对 ）

11．n阶矩阵A满足2320,AAE则A-3E可逆，A-2E可逆。 （ 对 ）

12．阵A与其转置TA具有相同的行列式和特征值。 （ 对 ）

13．如果n阶矩阵 A的行列式┃A┃=0，则A至少有一个特征值为零 。（ 对）

14. 设A为n阶方阵，k为常数，则kAkA。 （ B ）

15.设6阶方阵A的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。 （ B ） 3 16．行列式042()2310.123xfxxx的实根为6 （ A ）

17. 如果向量组s,,,21线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。（ B ）

18．n阶矩阵A满足2320,AAEEn其中为阶单位矩阵，则A可逆。

（ A ）

19．若矩阵A可逆，则AB与BA相似。 （ A ）

20．如果n阶矩阵 A的行列式┃A┃0，则A的特征值都不为零 。 （ A ）

21．矩阵123214341A是正定。 （ b ）

22．n阶单位矩阵的特征值都是1。 （ A ）

123123231232353552,1,0.49xxxxxxxxxxxx123.方程组的解为 （ A ）

24.果A是n阶矩阵且0A，则A的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合。

（ B ）

25． 矩阵A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A的列向量线性相关。（ A ）

26．若矩阵A有特征值12，则2一定是矩阵A的逆矩阵的特征值。 ( B )

27 若12,为非齐次线性方程组AXb(0)b的两个解，则12为线性方程组

的解；A

28．如果()rAr，A中能否有秩等于零的1r阶子式？能否有秩等于零的r阶子式？

能否有秩不为零的1r阶子式？

答 A中不能有秩等于零的1r阶子式；能有秩等于零的r阶子式；没有秩不为零的1r阶子式。

4 29．若32,1TA033,167TB则2().4TAB （ 错 ）

30．已知n元线性方程组AXb，其增广矩阵为A，当（ C ）时，线性方程组有解。

A、()rAn， B、()rAn； C、()()rArA； D、()()rArA

31．若线性方程组Axb的增广矩阵A经初等行变换化为

A123400012

当（ B ）时，此线性方程组有惟一解

A、-1,0 B、0,1 C、-1,1 D、1,2

32．若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，

则D=（ B ）

A、-8 B、8 C、-20 D、20

33. 设A为n阶方阵，且A=4，则14A=141nA 。

（A） 114n； （B）14n； （C）114n ； （D）214n。

34、行列式_______.cababcbca3333cbaabc

35．设矩阵210120001A，矩阵B满足2ABABAE，其中E为三阶单位矩阵，A为A的伴随矩阵，则B（ B ）.

（A） 13； （B）19； （C）14； （D）13。

36、 二次型2221231231213(,,)3264fxxxxxxxxxx的矩阵为 D

（A）52121212111； （B）541411112； 5 （C）522211212； （D）332320201。

37．设矩阵10102102,()03110244ArA则1 。

（A）0； （B）3； （C）1； （D）4。

38．设A、B均为三阶矩阵，且┃A┃=4，┃B┃=-2，则AB1)3(=-8/27。

（其中A为矩阵A的伴随矩阵）

39．设实对称矩阵020212022A，则与矩阵A相似的对角阵为A 。

（A）200010004； （B）000010001； （C）200010001； （D）200010004。

40． 设312312311212,,,,R和是的两组基，其中，，

3123，则32132关于基321321,,,,和的坐标为（1，-2，3）和（-1，5，-3） 。

41 矩阵3151A的特征值是（ C ）

A、12，24； B、12，24；

C、12，24； D、12，24。

42. 已知20010132025A，求A，1A，*1()A

答案 14A， 11000106042A， *1400()0260410A。

43 n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是（ B ）。

A、A有n个不全相同的特征值； B、A有n个线性无关的特征向量； 6 C、A有n个不相同的特征向量； D、TA有n个不全相同的特征值。

44．设矩阵120826,435534AB，且满足方程2A+X=B-2X，则X=

211222。

45．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵1213A有一个特征值等于

B 。

（A）34； （B）43； （C）21； （D）41

46．设-3是三阶实对称矩阵A的二重特征值，且A的迹tr（A）=-1，那么1A的特征

值为1/5，-1/3，-1/3 。

47．已知线性方程组12341234123412342313633153510121xxxxxxxxxxtxxxxxx，参数t= 2时，方程组有无穷多解。

48．设矩阵1121020601,()15252ArA则C 。

（A）0； （B）3； （C）2； （D）4

49．行列式11101101_______.10110111B

（A）3； （B）-3； （C）6； （D）-6。

50．二次型2221231231213(,,)3224fxxxxxxxxxx的矩阵为 312110202

51．方阵A经过行的初等变换变为方阵B，且0,A则必有 （ D ）

();();()00()0.AABBABCBBDB或与所做变换无关;

52. 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且mn，则 BA=0 。

7 53．设矩阵A的逆矩阵为1111121113A，则1)(A521220101

54．设A为n阶可逆矩阵，A是A的伴随矩阵，则 1nAA

55．已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t的秩为2，则t=3 。

56．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（ A ）

（A）A的列向量线性无关；（B）A的列向量线性相关；

（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关。

57．设有向量组123,,和向量：123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0);(0,3,1)

则向量由向量组123,,的线性表示是 。A

123123123123()23;()23()23()23ABCD

58．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵1313A有一个特征值等于（ 38）。

59．方程组123412341234123432024602378060xxxxxxxxxxxxxxxx有一个基础解系为12(2,1,1,0),(2,4,0,1);

60．α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且

r（A）=3，α1=（1，2，3，4）T，α2+α3=（0，1，2，3）T，c表示任意常数，则线性方程组AX=B的通解X=（ C ）

（A）（1，2，3，4）T+c（1，1，1，1）T

（B）（1，2，3，4）T+c（0，1，2，3）T

（C）（1，2，3，4）T+c（2，3，4，5）T

（D）（1，2，3，4）T+c（3，4，5，6）T

61．若三阶行列式123123123123123123221,22xxxzzzyyyyyyzzzxxx则（ 2 ）

62．若三阶行列式D的第二行的元素依次1，2，4，它们的余子式分别为4，2，1，则