《线性代数》综合复习题一、单项选择题：1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D =（ ）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组，且齐次线性方程组AX =O 仅有零解，则（ ）(A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（ ）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a , B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则有（ ）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（ ） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵，且O E A A =+-232，则（ ）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13； （B ）19； （C ）14； （D ）13。

8、下列命题中，错误的是(A) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关，则常数1,,n k k 必全为零 (B) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关，则常数1,,n k k 必不全为零(C) 若对任何不全为零的数1,,n k k ，都有1110,,,n n n k k αααα++≠则 线性无关(D) 若1,,n αα线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数1,,n k k ，使110n n k k αα++=9、设A =311201112-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则向量是A 的属于特征值2=λ的一个特征向量。

（A ）T，)1,01(； （B ）T，)1,01(-； （C ）T，)0,11(； （D ）T，)1,10(10、设矩阵10102102,()03110244A r A *⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭则⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽ 。

（A ）0； （B ）3； （C ）1； （D ）4。

11、已知三阶可逆方阵A 的特征值是1，2，-3，则E+1A -的特征值是( )。

（其中E 为三阶单位矩阵）（A ）1，23，32; （B ）2，32，23; （C ）2，23，15； （D ）23，32，54. 答 应选（B ）12、设n 阶方阵A 满足A2+A-4E=0，其中E 为n 阶单位矩阵，则1()A E --=( )。

（A ）1(2)2A E -； （B ）1(2)2A E +； （C ）1(2)4A E +； （D ）1(2)2A E -+ 13方程组1234123134124234131212510x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩的解是 （ ）111122223333444411112122()()()(D)00001121x x x x x x x x A B C x x x x x x x x ====-⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪==-==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 14 行列式0010020010000n nn-的值是（ ）。

(1)(2)(1)(1)(2)(2)(3)2222()(1)!()(1)!()(1)!(D)(1)!n n n n n n n n A n B n C n n +----------15、设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。

16、设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

17、设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。

（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。

18、任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。

（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。

二、判断题：判断结果填在题号后的括号内，正确√，错误×。

1( )、向量组α1,α2,α3,α4，如果其中任意两个向量都线性无关，则α1,α2,α3,α4线性无关。

2( )、设A 、B 为同阶可逆矩阵，则(A +B )-1=A -1+ B -1。

3( )、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，则一定有C B =。

4( )、齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=++0032321x x x x x 的解空间的维数是1。

5( )、设可逆矩阵A 有一个特征值为 λ，则1-A 必有一个特征值 -λ。

6( )、设A 、B 均为n 阶方阵，若B A >，则A 和B 一定不相似。

7( )、已知向量组123,,βββ可以由向量组123,,ααα线性表示：112321233123βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 则这两个向量组等价。

8( )、 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 同时可逆或同时不可逆。

三、填空题1、若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则321321321a a ab b bc c c = 。

2、 四阶方阵)(4321αααα=A ，其中α1,α2,α3,α4是四维列向量，且O ≠+++=4321ααααβ，则非齐次线性方程组β=AX 的一个解向量为 。

3、设A 、B 是三阶方阵，E 是三阶单位阵，2=A 且O E AB A =++22，则=+B A 。

4、若A 及其伴随矩阵A *均为n (>2)阶非零矩阵，且AA *＝O ，则r (A *)=____ _____。

5、设三阶方阵A 的行列式|A |=8，已知A 有两个特征值-1和4，则还有一个特征值为 ______。

6、设A 为实对称矩阵，α1=(1,1,3)T 与α2=(3,2,t )T 分别是属于A 的不同特征值λ1与λ2的特征向量，则t = 。

7、二次型23222132142),,(x x x x x x f +-=的正惯性指数是 。

8、 与向量12(1,1,1),(2,1,0),T Tαα==都正交的一个单位向量是 。

9 行列式121111211121222123132313212221211121111112111121()n n nn nn n n n nn n n n n n n n n nn n n n nn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------=。

10、设矩阵2101020,,(101A X AX E A X E ⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭矩阵满足其中为三阶单位矩阵），X =则矩阵（ ）。

11、 线性方程组 12233441231x x a x x a x x a x x ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是( )12、设二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+，则当λ=（ ）时该而此型正定。

13、 方程组1234123423412343225132222420x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪-++=⎪⎨++=-⎪⎪-++=⎩的解是 （ ）14、设行列式1123125215340111---=D ，则第二列各元素的代数余子式之和∑==412i i A。

15、设A 、B 为4阶方阵，且r （A ）=4，r （B ）=3，A 和B 的伴随矩阵为A B **和，r A B **=则（） （ ）16、若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，则a = ±21，b =21。

17、设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。

若A 有特征值λ，则2()A E*+必有特征值 1||2+⎪⎭⎫ ⎝⎛λA 。

四、计算题讨论a ，b 取何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-+=++=+4323310743232132132121ax x x b x x x x x x x x 无解、有唯一解、有无穷解，在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示全部解。

五、计算题设 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=51143511021311352A ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32101124t B 1. (5分)求矩阵A 的秩r (A )，及A 的列向量组的一个极大无关组； 2. (5分)矩阵B 中元素t 取何值时B 可逆？六、计算题已知321,,ααα是3维向量空间的一组基，向量组321,,βββ满足3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+（1）证明：321,,βββ是一组基。

（2）求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。

（3）求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。

七、计算题求正交替换将二次型322322213212334),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。