(1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时, ，，结论成立． (2) 当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而 的列向量组的秩,即,此时,结论成立。 综上,．
12．求下列向量组的秩和一个最大无关组: (1) .(1) ，，，，
解 (1) A=(,,,,)=
， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组，秩为3．
(1) 其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。,该方程组为非齐次线性方程组,得 产生矛盾,假设不成立, 故线性无关. (2)反证法,假使线性相关. 则存在着不全为零的数使得下式成立:
（2） 即
1) 若,由于是线性无关的一组基础解 2) 系,故,由(2)式得此时 与假设矛盾. 3) 若由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾, 综上,假设不成立,原命题得证.
15．设方阵与相似，求. 解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即
．
16．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依 次为 ，， 求.
故也可逆. 由 又由
4．设,,求. 解 由可得 5．(1) 设,求使;
(2) 设,求使. 解 (1) (2)
． 故
6．取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解 (1) ,即时方程组有唯一解.
(2) 由 得时,方程组无解.
(3) ,由, 得时,方程组有无穷多个解.
10．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它
的三个解向量．且 ，
求该方程组的通解． 解 由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得 为其基础解系向量，故此方程组的通解：，
11．设都是阶方阵，且，证明． 证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量 都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．
复习题
1.计算下列各行列式（）： (1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0； (2); (3) ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) (5),. 2.有非零解？ 解， 齐次线性方程组有非零解，则 即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.
3．设方阵满足,证明及都可逆,并求及 . 证明 由得 两端同时取行列式: 即 ,故 所以可逆,而
13．设,且向量组 线性无关,证明向量组线性无关. 证明 设则 因向量组线性无关,故 因为故方程组只有零解 则所以线性无关
14．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明:
(1)线性无关； (2) 线性无关。 证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数 使得下式成立:
7．求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) 解 (1) 所以原方程组等价于 取得 取得 因此基础解系为 8．设,求一个矩阵,使,且 . 解 由于,所以可设则由 可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ， 故所求矩阵．
9．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解 显然原方程组的通解为 ,() 即消去得 此即所求的齐次线性方程组.