• 同时考虑如下 Cr2 个假设的检验问题，
H
ij 0
： i
j ，i
j, i,
j
1,2,
,r ．
•
样本均值
yi
应是
i
的很好估计，若
H
ij 0
为真，
yi y j
不应过大，过大就应拒绝
H
ij 0
．
5.效应模型
在单因子试验中，对水平 A1, A2 , , Ar 的选择方式有二种： •r 个水平 A1, A2 , , Ar 是特定的，如四个玉米品种，现要
3.单因素试验的方差分析
设 A 表示欲考察的因素，它的 r个不同水平，对应
的作指若标干视次作重复r 试个验总：体nX1,1n, X2 ,2.,....n.Xr .r（. 每可个等水重平复下也，可我不们等
重复），同一水平的
的一个样本：X i1, X i2 ,
ni 个结果，就是这个总体
...X ini .
0
H
1：
2 a
0
若拒绝
H
0
，就意味着
2 a
>0，从而认定
A
的随机效应存
在显著差异，
2 a
愈大，此种差异就愈大。
在方差分析中，总平方和的分解和检验的统计量都
与固定效应完全一样，只是各平方和的含义略有差别。
谢谢！ 请老师和同学们指正！
如今我们选用不平衡设计，即A1, A2, A3, A4分别制作
了7,5,6,6个样品，共有24个样品等待测试。
2.单因素试验举例——随机化
• 这里一次测试就是一次试验，试验次序要随机化。
因子 A 的水平
试验编号
A1
1234567
A2
8 9 10 11 12
A3
13 14 15 16 17 18
A4
H1：诸ai不全为0
这一对假设与原先一对假设是等价的．
H 0 : 1 2 ... r H1 : 诸i 不全相等
例 在绿茶中叶酸含量的例子中，已有：
r=4， m1 =7， m2 =5， m3 =6， m4 =6，n=24， y1 8.27，y2 7.50，y3 5.82，y4 6.35
y 7.02
其四个水平效应的估计值分别为 aˆ1 8.27 7.02 1.25
aˆ2 7.50 7.02 0.48
aˆ3 5.82 7.02 1.20
aˆ4 6.35 7.02 0.67
其中两个是正效应，两个是负效应。
5.效应模型——随机效应模型
随机效应模型的数据结构式
yij
试验设计与分析及参数优化
单因素试验
One-factor experimental design
主要内容
1.基本概念 2.单因素试验举例分析 3.单因素试验的方差分析方差分析 4.多重比较 5.效应模型
1.基本概念
概念——单因素试验顾名思义，是指在试验过程中只 有一个被研究的因素，或者说研究者只是针对一个因 素对考察指标的作用影响，需要强调的一点是，单因 素试验并不是说该试验的影响因素只有一个。
比较其优劣．
•r 个水平 A1, A2 , , Ar 是从众多水平中随机选出来的，如
绿茶的产地有很多，现随机从市场上购买四种绿茶作叶酸含量 的测定与比较．
如何从统计模型区别这二种不同的单因子试验呢？效应模 型因此需要而产生，它可分为两类：
• 固定效应模型 • 随机效应模型
5.效应模型
在单因子试验中，对水平 A1, A2 , , Ar 的选择方式有二种： •r 个水平 A1, A2 , , Ar 是特定的，如四个玉米品种，现要
6.35
2. 单因子试验——一般概述
在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar．
在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr． 记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里 i ——水平号，j ——重复号．
经过随机化后，所得的n个试验结果列于表2.2.1．
2.单因素试验——三项基本假定
自正1.态正总态体性：N (在i水,平i2 ) 的Ａ一i下个的样数本据，yi1i,=y1i2,2,……,,ry。imi是来
2.方差齐性：r个正态总体的方差相等，即：
2 1
2 2
2 r
2。
3.随机性：所有数据yij都相互独立。
图2.2.1 单因子试验所涉及的多个正态总体
灯泡的使用寿命——试验指标 灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个） 四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平 因此，本例是一个四水平的单因素试验。 用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差 相同的正态分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4） 本例问题归结为检验假设 H0：1= 2= 3= 4 是否成立
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：
X ij i ij , j 1, 2,...ni , i 1, 2,...r 线性统计模型
其中 为试验误差，相互独立且服从正态分布 ij 即 ij ~ N 0, 2
4.多重比较
在确认因子 A 的 r 个水平均值间有显著差异的情况下， 进一步要问：哪些水平均值间确有显著差异，这就要进行多 重比较。同时比较任意两个水平间有无显著差异的问题称为 多重比较。
它表示水平 Ai 的均值中除去总均值后特有的贡献，称 ai 为水 平 Ai 的效应．
5.效应模型——固定效应模型
r
水平 Ai 的效应 ai 可正可负，且有约束 ai 0 ．
这样一来，数据结构可改写为：
i 1
yij ai ij，i 1,2, , r，j 1,2, , mi ，
其中
• 是因子 A 的全部水平下指标的总均值，它是待估
19 20 21 22 23 24
•把试验结果“对号入坐”，填写试验结果。
因子 A 的水平
数据（毫克）
样本均值
A1
7.9 6.2 6.6 8.6 8.9 10.1 9.6 8.27
A2
5.7 7.5 9.8 6.1 8.4
7.50
A3
6.4 7.1 7.9 4.5 5.0 4.0
5.82
A4
6.8 7.5 5.0 5.3 6.1 7.4
则：Var( yij
)
2 a
2
其中
2 a
和
2
称为
yij
的两个方差分量，故随机效应模
型又称为方差分量模型．
5.效应模型——随机效应模型的方差分析
随机效应模型中的检验假设：因子 A 的一切可能的
效应是否相等，等价于检验随机效应的方差
2 a
是否为
0，只有方差为 0 的随机变量才为常数。即：
H
0：
2 a
2.单因素试验举例
例: 茶是一种大众饮品，它含有叶酸（一种维生素B），
今要研究各地的绿茶中叶酸的含量是否有显著差异？
问题中，绿茶是一个因子，用A表示。 选定四个产地的绿茶，记为A1, A2, A3, A4，它是因子A
的四个水平。为测定试验误差，需要重复
各水平重复数相等的设计称为平衡设计. 各水平重复数不等的设计称为不平衡设计.
水平——可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。
目的——考察某一个因素对试验结果的影响。
2.单因素试验举例
例 （灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方 案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机 抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：
灯泡
寿命
1 2 3 4 5 678
灯丝
甲 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800
乙 1580 1640 1640 1700 1750
丙 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820
丁 1510 1520 1530 1570 1680 1600
2.单因素试验举例——分析
设因子 A 有 r 个特定水平 A1, A2 , , Ar ，在水平 Ai 下重复进 行 mi 次试验，由三项基本假定可得 yij ~ N (i , 2 ) ．这时数据 yij 有如下结构：
yij i ij，i 1,2, , r，j 1,2, , mi ．
若记 为总平均值
则 ai i ， i 1,2, , r ，
ai
ห้องสมุดไป่ตู้
，
ij
i 1, 2,L , r，j 1, 2,L , mi
其中
• 是因子 A 的全部水平指标的总均值；
• ai 是第 i 个水平的随机效应．一般假定 a1, a2 , , ar 是
来自某正态分布
N
(0,
2 a
)
的一个随机样本；
• ij ~ N (0, 2 ) 是随机误差；
•诸 ai 与诸 ij 是相互独立的随机变量．
表2.2.1 单因子试验的数据
因子 A 的水平
A1 A2
Ar
数据
y11 y12 y1m1 y21 y22 y2m2
yr1 yr 2 yrmr
和
T1 y11 y12 y1m1
均值
y1 T1 / m1
T2 y21 y22 y2m2
y2 T2 / m2
…
…
Tr yr1 yr 2 yrmr yr Tr / mr
比较其优劣．
•r 个水平 A1, A2 , , Ar 是从众多水平中随机选出来的，如
绿茶的产地有很多，现随机从市场上购买四种绿茶作叶酸含量 的测定与比较．
如何从统计模型区别这二种不同的单因子试验呢？效应模 型因此需要而产生，它可分为两类：