数学物理方法习题
第一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式
1、
2、
3、
4、
5、 第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1）
（2）
;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
3、计算数值（和为实常数，为实变数）
4、函数
将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？
（1）
（2）
5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。
（1）
； （2）
6、已知等势线族的方程为
常数，求复势。
第三章：
1、计算环路积分：
3r ∇= 0r ∇⨯= ()()()()()A B B A B A A B A B ∇⨯⨯=∇-∇-∇+∇ 21()0
r ∇=()0A ∇∇⨯=
0;
2
Z a Z b z z -=--=0arg
4z i z i π
-<<+1Re()2
z
=1;1i i e ++a b
x sin5i
i ϕsin sin()
iaz ib z
a i
b e -+1
W z =
z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ϕ==-+==
=(00)
f υ==22
x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。
3、估计积分值
第四章： 1、泰勒展开
（1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1）
在区域展成洛朗级数。
（2）
按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开；
②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
3、确定下列函数的奇点和奇点性质
第五章： 1、计算留数
（1） 在点。
（2） ，在点；
（3）
在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2211132124sin
4(1).(2).11sin (3).
(4).
()
231
(5).
(1)(3)z
z z i z
z z z z e dz dz
z z z e dz dz
z z z dz
z z π
π+=+====-+--+-⎰⎰⎰⎰⎰ 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ
πξξ=⎰ l 0ξ=222i
i
dz
z +≤⎰
ln z 0
z i =1
1z
e -0
0z =21
1z z -+1z =1
()(1)f z z z =
-01z <<1
()(3)(4)f z z z =
--0z =0z =521
(1);(2)(1)sin cos z z z z -+2
(1)(1)z
z z -+1,z =±∞3
1sin z e z -0z =31
cos
2z z -
（4） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2、计算围道积分
（1） （2）
3、计算实变函数的定积分
（1）
（2）（3）
4、计算实变函数的定积分
（1） （2）
5、计算实变函数的定积分
（1） （2）
（3）
第六章：
1、在
的邻域上求解
2、在
的邻域上求解
3、在的邻域上求解
第七章：
1、长为的均匀弦，两端和固定，弦中张力为。
在点以横向力拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
1z
e z
+51
;:2(3)(1)l dz l z z z =--⎰ 1
;:2(1)(2)2l z dz l z z z -=--⎰ 20
2cos dx
x π
+⎰2
20sin (0)
cos xdx a b a b x
π>>+⎰22
cos (1)
12cos xdx x π
εεε<-+⎰2411x dx x ∞
-∞++⎰4401
dx x a ∞+⎰40
cos (0)1mx dx m x ∞
>+⎰
22220cos ()()x dx x a x b ∞++⎰22
sin x
dx x ∞
⎰
00x =0y xy ''-=00x =2(1)660x y xy y '''--+=00x =2
0y y ω''-=l 0x =x l =0T x h =0
F l
电梯速度达到时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
第八章：
1、长为的均匀弦，两端和固定，弦中张力为。
在距一端为的一点
以力
把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
电梯速度达到
时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为
，此外不再有杂
质进入薄膜。
在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
4、在矩形区域上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
5、细圆环，半径为
，初始温度分布已知为，是以环心为极点的极角，环
表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。
在远离圆柱出水流是均匀的，流速为
，圆柱半径为。
7、半圆形薄板，半径为
，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为，
求稳定状态下的板上温度分布。
8、一均匀细棒长，一端固定，另一端在纵向力的长期作用下，求解
杆的稳恒振动。
9、用冲量定理法求解
0υl 0x =x l =T 0x 0F l 0υl 0Φ0,0x a y b <<<<00();0;sin
,0
x x a y y b x
u Ay b y u u B u a
π=====-===0ρ()f ϕϕ0υa 0ρ0u l 0()sin F t F t ω=200sin 00()t xx x x x l t u a u A t
u u u x ωϕ===⎧-=⎪⎪
==⎨⎪
=⎪⎩
10、用冲量定理法求解 为常数
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为
的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到和
，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为，外半径为，内球面上有恒定电势外球面上有
电势保持为
均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
3、在本来均强的静电场中，放置半径为的导体球，使求解球外的静电场。
4、将按照求函数展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为 ，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
7、试证平面波能用柱面波展开，即
其中为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
9、半径为，高位的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为
求解柱体内各点的温度分布。
20000
()(0)t xx x x x l t u a u bu u u u x x l ϕ===⎧-=-⎪⎪
==⎨⎪=<<⎪⎩b
0r 1υ2υ1r
2r 0,u 210,1
cos ,u u u θ0E
0r (,)(13cos )sin cos f θϕθθϕ=+,(,)
l m Y θϕ(13cos )sin cos θθϕ+021
210
cos ()2()()
sin 2()()
m m m m m m x J x J x x J x ∞
=∞
+==+-=-∑∑cos 01
()2()()cos ik n n n e
J k i J k n ρϕ
ρρϕ
∞
==+∑cos ik e
ρϕ
4
1
()x J x dx ⎰a h 2
(),f ρρ=
10、有均匀圆柱，半径为
，高位
，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为
和
，求柱内稳定的温度分布。
a
h
1()
f ρ2()f ρ。