数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u yy →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。
(0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =-()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。
但33332200()(0)()lim lim ()()z z f z f x y i x y zx y x iy →→--++=++。
令y 沿y kx =趋于0，则3333334343222220()1(1)1(1)lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。
4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上必为常数。
（1）()z f 在区域D 上为实函数； （2）()*z f 在区域D 上解析； （3）()Re z f 在区域D 上是常数。
证明：（1）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。
由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。
()f z 在区域D 上解析。
由C －R 条件得0u v x y ∂∂==∂∂，0u vy x∂∂=-=∂∂。
∴在区域D 上(,)u x y 为常数。
从而()z f 在区域D 上为常数。
（2）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。
()f z 在区域D 上解析。
由C －R 条件得,u v u vx y y x∂∂∂∂= =-∂∂∂∂。
（1） 又*()f z 在区域D 上解析，由C －R 条件得,u v u v x y y x∂∂∂∂=- =∂∂∂∂。
（2） 联立（1）和（2），得0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂。
,u v ∴在区域D 上均为常数，从而()f z 在区域D 上为常数。
（3）令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()Re (),f z u x y =。
由题设知(),u x y 在区域D 上为常数，0u u x y∂∂∴==∂∂。
又由C －R 条件得，在区域D 上0,0v u v u x y y x∂∂∂∂=-= ==∂∂∂∂，于是v 在区域D 上为常数。
,u v ∴在区域D 上均为常数，从而在区域D 上()f z 为常数。
5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。
证明：令2u xy =，2222022u ux x x y∂∂+=+=∂∂。
u ∴ 不满足拉普拉斯方程。
从而它不能成为z 的一个解析函数的实部。
6、若z x iy =+，试证：（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+； （2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-； （3）222sin sin sinh z x y +＝；（4）222cos cos sinh z x y =+。
证明：（1）sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =， sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。
（2）cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=-cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =，cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。
（3）222sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+2222sin (1sinh )cos sinh x y x y =++222222sin (sin cos )sinh sin sinh x x x y x y =++=+。
（4）2222222cos (cos cosh )(sin sinh )cos cosh sin sinh z x y x y x y x y =+=+2222cos (1sinh )sin sinh x y x y =++ 22222cos cos sinh sin sinh x x y x y =++222222cos (cos sin )sinh cos sinh x x x y x y =++=+。
7、试证若函数()f z 和()z ϕ在0z 解析。
()()()0000,0f z z z ϕϕ'==≠，则()()()()000lim z z z f z f z z ϕϕ→'='。
（复变函数的洛必达法则） 证明：00000000000000000()()()()lim()()()()lim lim lim ()()()()()()()()lim z z z z z z z z z z f z f z f z f z f z z z z z f z f z f z z z z z z z z z z z z z ϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→→→--'---====--'---。
或倒过来做。
8、求证：0sin lim 1z zz →=。
证明：000sin (sin )lim lim limcos 1z z z z z z z z→→→'==='。
第二章习题解答 9、利用积分估值，证明a ．()22ii x iy dz π-+≤⎰ 积分路径是从i -到i 的右半圆周。
b ．证明222iidzz+≤⎰积分路径是直线段。
证明：a ．（方法一）()()222244iiiiiixiy dz xiydz x y dz ---+≤+=+⎰⎰⎰42242222()iiiix x y y dz x y dz π--≤++=+=⎰⎰。
（方法二）在半圆周221x y +=上，221,1x y ≤ ≤，从而42424422x x y y x y x y ≤ , ≤⇒+≤+在半圆周221x y +=上，2244221x iy x y x y +=+≤+=，44max 1cx y +=，()222222ii iiiiiixiy dz x iy dz x y dz dz π----+≤+≤+==⎰⎰⎰⎰。
或：()2244max ii cx iy dz x y ππ-+≤+=⎰。
b ．证:222111maxmaxmax11z x iz x iz x z =+=+===+ 2221max 22iiz x idz z z +=+∴ ≤⋅=⎰。
10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，半径为1的单位圆周。
a ．cos c dz z⎰；b ．256z c e dz z z ++⎰。
证明：a ．1cos z 的奇点为1,0,1,2n z n n π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，由于1n z >，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
1cos z∴在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。
由柯西定理:0cos cdzz=⎰。
b ．256(2)(3)z ze e z z z z =++++的奇点为12z =-，23z =-，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
256ze z z ∴ ++在以原点为圆心的单位圆内处处解析。
由柯西定理:2056z c e dzz z =++⎰。
11、计算a ．()221:21cz z dz c z z -+=-⎰；b ．()()2221:21cz z dzc z z -+=-⎰。
解: a ．221z z -+在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。
由柯西积分公式得221212(21)2241z c z z dz i z z i i z πππ=-+=-+=⨯=-⎰。
b ．221z z -+ 在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。