复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =，则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+，则(,)u x y =（ ）A.(cos sin )ye y y x y -)B.(cos sin )xe x y x y -C.(cos sin )xe y y y y - D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．方程Ln 3z i π=的解为_________________________。
12．幂极数1!nn n n z n ∞=∑的收敛半径为________________________。
13．设100(1)z i =+，则Imz ＝______________________。
()()1z z z zze e ze z e z∂=+=+∂14．设C 为正向圆周|z|=1，则1()c z dz z +⎰=___________________________。
15．设C 为正向圆周 2ζ=，sin 3()-cf z d zπζζζ=⎰，其中2z <，则'(1)f =___________________。
16．函数()5111[1]1(1)f z z z z =+++++在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题(本大题共8小题，共52分)17. 计算积分22(-)(3)zc e I dz z i z i π=+⎰的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。
18. 函数1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)在何处求导？并求其导数19.求222-u x xy y =+的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1. 20.计算积分||c z zI dz z +=⎰的值，其中C 为正向圆周|z|=2.21.试求函数f(z)=2-0ze d ζζ⎰在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.22.求出1()z zf z e+=在所有孤立奇点处的留数.23.求级数11(1)n n n nz ∞-=-⋅∑的和函数.24.函数3366sin (6)z z z +-在0z =点为零，用级数展开法指出该零点的级.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
每小题8分，共16分)25．利用留数求积分420cos109xI dxx x +∞++⎰＝的值26．设Z 平面上的区域为||-|D z i z i +><：（1）11()w f z =把D 映射成W 1平面上的角形域113arg 44D w ππ<：＜；(2) 121()w f w =把D1映射成W2平面上的第一象限220arg 2D w π<：＜;（3）32()w f w =把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）(z)w f =把D 映射成G 。
27．利用拉氏变换解常微分方程初值问题：''2'1(0)0,'(0)1 y y yy y-+=⎧⎨==-⎩综合试题（一）答案一、 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A二、11．),3i (121z +=或3ie π12．e 13．014．4πi 15．i,33π或3cos 3i 2πππ⋅ 16．6三、17．解：因在C 内22z3i)(z i)-(z e f(z)+=π有二阶级点z=I ，所以 22322 ()lim (-)()2lim -(-12)1!(3)(3)16z z c z i z i i d e e f z dz z i f z i i dz z i z i πππππππ→→⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎰ 18. 解：因为n 为正整数，所以f(z)在整个z 平面上可导. 1()(1)n f z n z -'=-.19．解1：2y -2x yu2y 2x x u =∂∂+=∂∂，， 由C －R 条件，有yu-x v ,x x y v ∂∂=∂∂∂∂=∂∂， ⎰⎰++=+=∂∂=∴(x)y 2xy 2y)dy (2x dy x v v 2ϕ。
再由yu-2y -2x (x )'2y x u ∂∂=+=+=∂∂ϕ， 得-2x (x)'=ϕ，于是C -x (x )2+=ϕ，C x -y 2x y v 22++=∴。
由1,v(0,0)=得1C ＝。
故1x -y 2x y v 22++=解2： C dy yvdx x v y)v(x y )(x,(0,0) +∂∂+∂∂=⎰⎰+++=y)(x,(0,0)C2y)dy (2x 2x)dx -(2yC y 2x y -x 22+++=以下同解1。
20．解1： -12Re 2cos 2(cos sin )||2c cz z dz zdz i i d z ππθθθθ+==⋅+⎰⎰⎰ i 4)d cos2(14i 0πθθπ=+=⎰。
解2：-2 0222||||22i i i c z z e e dz ie d z z θθπθθ⎫⎛⎫⎛+=+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎰⎰2(20)4i i ππ+=＝。
21．解：因为22-200(-)(-1)'() (|)!!n n z nn n z f z ez z n n ∞∞=====<+∞∑∑｜，（2分）所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得210(-1) () '() (|)!21n n zn z f z f d z n n ζζ+∞===<+∞+∑⎰｜22. 解：函数 zz ez f 1)(+=有孤立奇点0与∞，而且在+∞<<z 0内有如下Laurent 展开式：)1!311!2111)(!31!211(323211 ++++++++=⋅=+z z z z z z e e ezzzz ++++++=z1)!41!31!31!21!211(故 1101Re [,0]!(1)z zk c s ek k ∞+-===+∑∑∞=++-=∞01)1(!1],[Re k zz k k es23. 解：11limlim 1n n n n C n C n+→∞→∞+== 故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：-111(1)(1)1z nn n n n n znz dz z z ∞∞==-=-=+∑∑⎰所以-1211(1)(),11(1)n n n z nz z z z ∞='-⋅==<++∑于是有：11211(1)(1)1(1)n nn n n n z nz z n z z z ∞∞--==-⋅=--⋅=-<+∑∑24.解：336393391593()6sin (6)6sin 6116()63!5!f z z z z z z z z z z z z =+-=+-=-+++- 故z=0为f(z)的15级零点四、25. 解：在上半平面内，9)1))(z (z e f(z)22iz++=有一阶极点z=i 和z=3i 。
2222 -- 1cos 1Re 2(1)(9)2(1)(9)ixx e I dx x x dx x x +∞+∞∞∞==++++⎰⎰ [][]{}1Re 2Res (),2Res (),32i f z i i f z i ππ=+， []16ei1i f(z),Res =，[]i48e 1-f(z),3i Res 3=，1)-(3e 48eI 23π=∴ 。