x2 a2
y2 b2
(
0)
5、双曲线的标准方程与几何性质
二、例题讲解 例 1、（1） 已知两定点 F1( 5,0) , F2(5,0) , 动点 P 满足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程
（2）已知两定点 F1( 5,0) , F2(5,0) , 动点 P 满足 PF1 PF2 10 , 求动点 P 的轨迹方程 . （ 3）已知双曲线 C 与双曲线 x2 y 2 1有公共焦点，且过点 (3 2,2) ，求该双曲线的方程。
例 4、 设 F1, F2 是双曲线 x 2 4
y2 1 的两个焦点 , 点 P 在双曲线上且满足
F1PF2 60 ，
求 PF1 F2 的面积。
例 5、求双曲线 9 y 2 16x2 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例 6、求满足下列条件的双曲线的标准方程： （ 1）顶点在 y 轴上，两顶点间的距离是 8，离心率 e 5 ； 4
注意：（1） c2
2
a
2
b
注意与椭圆的区别。
（2）方程特征：左边是平方差的结构，右边是 1；分母均大于 0，但大小不定； （3）根据方程判断焦点的位置的方法： 看系数的符号（正负） ；
即 x2 的系数大于 0 则在 x 轴上，且 x2 的分母即是 a 2 ；
反之， y2 的系数大于 0 则在 y 轴上，且 y 2 的分母即是 a2 。
3、求双曲线方程，先要判断焦点的位置，若两种均有可能，则分两种情况讨论；
有的问题也可用两种标准方程的统一形式： mx2 ny2 1(mn 0) 来设方程。
4、常用小结论：
x2 1）与双曲线 a 2
y2 b2
1 共渐近线的双曲线系方程为：
x2 a2
y2 b2
(
0)
2）、以 y
b x 渐近线的双曲线可设为： a
高二数学学案 序号 112-113 高二年级
班 教师 毕 环 学生
复习三十五
双曲线的定义、标准方程及几何性质
〖学习目的〗 1、掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质 2 、会用定义和几何性质解决简单问题；会求双曲线的标准方程；
〖重点难点〗 定义、几何性质的理解及应用 〖学习过程〗 一、复习归纳 1、双曲线的定义 ：到两定点 距离之差的绝对值 等于一个常数（ 小于 两定点间距离）的动点
5、已知双曲线 x2 y2 1上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项， 16 9
则点 P 到左焦点的距离为
6、中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4，-2 ），则它的离心率为
（ 2）求经过点 A(3, 1) ，且对称轴都是坐标轴的等轴双曲线的方程，并渐近线方程和离心率。
的轨迹为双曲线。 即：当 PF1 PF2 2a F1F2 时， P 的轨迹为双曲线； F1F2 是焦距， F1F2 2c
注： 1）双曲线有两支，设 F1, F2 分别是左、右焦点，则当 PF1 PF2 2a 时表示 右支 ；
当 PF2 PF1 2a 时表示 左支 ；
2）当 PF1 PF2 2a F1F2 时， P 的轨迹为以 F1 、 F2 为端点的 两条射线 ；
7、求中心在原点， F( 5,0) 为右焦点，离心率为 e 5 的双曲线方程及其渐近线方程。 2
例 7、设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB与该双曲线的一条渐近线 垂直，求双曲线的离心率。
例 8、求与双曲线 x 2 y 2 1 有共同的渐近线，且经过点 ( 3,2 3) 的双曲线标准方程； 9 16
x2 8、设 P 是双曲线 a2
y2 1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 9
3x+4y=0 ，F1，F2 分别是
双曲线的左、右焦点，若 |PF1|=10 ，则 |PF 2|=
9、已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0 ，且过点 P（4，3），求双曲线的标准方程．
3） 当 PF1 PF2 2a F1F2 时， P 的轨迹不存在；
2、双曲线的标准方程
x2 1）当焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为 a2
y2 b2
1( a
0,b
0) ，其中：焦点坐标是 ( c,0)
2）当焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为
y2 a2
x2 b2
Hale Waihona Puke 1(a0, b0) ，其中：焦点坐标是 ( 0, c)
三、课后练习
1 、过两点 A( 7, 6 2) 、 B(2 7,3) 的双曲线的标准方程为
。
2、双曲线 5x2 ky2 5 的一个焦点是 ( 6,0) ，那么实数 k 的值为
．
3、方程 x2
y2 1表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围
4k 1k
4、已知双曲线 x2 y2 1上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4 12
16 4
例 2、 方程 x2
y2 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 （
1k 1k
A． 1 k 1
B． k 0
C． k 0
） D． k 1或 k 1
例 3、已知双曲线的两个焦点为 F1（- 10 ， 0）、F2（ 10 ，0），P 是此双曲线上的一点， 且 PF1 PF2 0 ， PF1 PF2 2 ，求该双曲线的方程。