泛函分析期末复习题（2005-2006年度）（1）所有矩阵可以构成一个线性空间。

试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。

（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。

（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。

那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。

（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。

（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。

（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。

泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。

子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }Td 2(x ，y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x ，y)=1||ni i i x y =-∑d p (x ，y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。

若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。

线性赋范空间中的基本列不一定收敛。

9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。

10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。

11、L 2（a ，b ）为定义在(a ，b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a ，b ），2|()|baf t dt⎰＜∞。

当L 2（a ，b ）中内积的定义为（f ，g ）=_____()()baf tg t dt ⎰(其中f(t)，g(t)∈L 2（a ，b ）)时其为Hilbert 空间。

★ 12、算子表示一种作用，一种映射。

设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ⊂X ，若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T ，记为y=T(x)，y 为x 的像，x 为y 的原像。

13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切x ∈D(T)，使不等式||Tx||Y ≤M||x||X 的正数M 的下确界称为T 的范数，||T||=sup||Tx||/||x||，||x||≠0。

直观的理解就是||x||的最大放大率。

★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T ：E →E 1，必有T0=0，则称集合{x ∈E|Tx=0}为T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E 1的子空间。

15、如果存在一正常数M ，使得对每一个x ∈D(T)，都有||Tx||Y ≤M||x||X ，则称T 为有界算子。

无界算子：设算子T ：C 1[0，1]→C[0，1]定义为：(Tx)(t)=x '(t)，则T 是线性算子，若视C 1[0，1]为C[0，1]的子空间，则T 是无界的。

16、设{T n }=L(X ，Y)，T ∈L(X ，Y)，如果对任何一个x ∈X ，均有||T n x-Tx||→0(n →∞)，则T n 弱收敛于T 。

17、L(X ，Y)是BANACH 空间。

*18、压缩映像原理又叫BANACH 不动点定理，其具体内容如下：设X 为BANACH 空间，F 为X →X 的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x *∈X ，满足F(x *)=x *，称x *为F 的不动点。

设集合Q ⊂D(F)，如果存在常数q ∈(0，1)使得对任何x '，x ''∈Q ，有||F(x ')-F(x '')||≤q||x '-x ''||，称F 为Q 上的压缩算子，q 为压缩系。

压缩映像原理：设算子F 映BANACH 空间X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q ，则算子F 在Q 内存在唯一的不动点x *，若x 0为Q 内的任意点，作序列x n+1=F(x n )，n=0，1，2，…，则{x n }∈Q ，x n →x *，而且有估计||x n -x *||≤q/(1-q)||F(x n )-F(x 0)||。

简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。

19、设X 是实数域上的线性赋范空间，D 是X 的线性子空间，f:D →R ，如果f 满足：对任何α，β∈R ，x ，y ∈D ，f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)，则f 是D 上的一个线性泛函，或者说由X →R 的算子为泛函。

泛函f 的范数定义如下：||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。

20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。

21、弱收敛：X 为线性赋范空间，{x n }⊂X ，x 0∈X ，如果对任何一个f ∈x *均有0lim ()()n n f x f x ->∞=，则称{x n }弱收敛于x 0。

弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。

22、泛函的GATEAUR 微分：设X 为线性赋范空间，x 0∈X ，f(x)的x 0及其领域内有定义，如果对任意h ∈X ，极限：000()()limt f x th f x t->+-存在，则称f(x)在x 0处对方向h 存在GA TEAUR 导数，记为0(,)f x h δ。

又称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。

23、0(,)f x h δ称为泛函f(x)在x 0处对于方向h 的一阶变分。

令0()(),t f x th φ=+则'00)()(0)(0)lim(,)t t f x h tφφφδ->-==。

24、'''0x x d g g dt-=25、应变能密度：0()()ij kl kl ij ij W d εεσεε=⎰ 应变余能密度：0()ijij ij c ijW d σεσσ=⎰其关系如下图所示： σ26的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集27、,,1[()](),()2i ij i i i ij i j j i V V S u x W dV f u dV P u ds u u σπεε-=--=+⎰⎰⎰，其中[()]u x π为系统的总势能，()ij V W dV ε⎰为应变能，后两项为外力势能，f i 为体积力分量，i P -为给定S σ边界上的外力。

最小势能原理：在所有满足边界条件(i i u u -= on S u )和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u π最小。

其基本的未知函数是位移场u i ，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,,1/2()ij i j j i u u ε=+。