直线测试题一．选择题（每小题 5 分共 40 分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点 P 0（x 0. y 0）的直线都可以用方程 y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点 P 1（ x 1. y 1）、P 2（x 2.y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（ x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 x y1 表示； ab D.经过定点 A （0. b ）的直线都可以用方程 y =kx +b 表示。

【答案】 B解析】 A 中过点 P 0（ x 0. y 0）与 x 轴垂直的直线 x =x 0不能用 y －y 0=k （x －x 0）表示.因为其斜率 k 不存在； C 中不过 xy原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y =b （ b ≠ 0）或 x =a （a ≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A （ 0. b ）的直线 abx =0 不能用方程 y =kx +b 表示 . 评述：本题考查直线方程的知识 . 应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围 2. 图 1中的直线 l 1、l 2、l 3的斜率分别为 k 1、 k 2、 k 3. 则（ ） A.k 1<k 2<k 3 B. k 3< k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1< k 3<k 2【答案】 D 图1解析】直线 l 1的倾斜角 α1是钝角 .故k 1<0.直线 l 2与 l 3的倾斜角 α2、 α3 均为锐角 . 且α2>α3. 所以 k 2> k 3> 0. 因此 k 2> k 3> k 1.故应选 D. 3. 两条直线 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0. A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0 垂直的充要条件是（ ）A. A 1A 2＋ B 1B 2＝0B. A 1A 2－ B 1B 2＝ 0C. A 1A2 B 1B2 1D. B1B2 =1 A 1A2答案】A解析】法一：当两直线的斜率都存在时A 1B 1 （ A 2 ）＝－ 1. A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.当一直线的斜率不存在. 一直线的斜率为时. B 2 A 1 0或 A 2 0 B 2 0 B 1 0同样适合A1A2＋B1B2＝ 0. 故选 A.法二：取特例验证排除 .如直线x+y=0 与x－y=0 垂直 . A1A2＝ 1. B1B2＝－ 1. 可排除B、D. 直线x=1 与y=1 垂直 . A1A2＝ 0. B1B2＝ 0. 可排除 C.故选 A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点维能力 .4. 若直线l ：y＝kx 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限 .则直线l 的倾斜角的取值范围是（）答案】 B解析】法 1：求出交点坐标 . 再由交点在第一象限求得倾斜角的范围：解得k∈( 3. ＋∞3∴倾斜角范围为（, ）623.0 ） . B（0.2 ）.直线l 必过点（ 0.－3 ）. 当直线过A点时 . 两直线的交点在x 轴. 当直线l 绕C 点逆时针旋转时. 交点进入第一象限 . 从而得出结果 .5. 设a、b、c 分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C所对边的边长 . 则直线 sin A·x+ay+c=0 与bx－sin B· y+sin C=0 的位置关系是（）3,2D.[6,2]. 重点考查分类讨论的思想及逻辑思y kx 32x 3y 6 03(2 3) x2 3k6k 2 3 y2 3k∵交点在第一象限x03(2 3) 02 3k y0 6k 2 32 3k法 2：如图 . 直线 2x+3y－6=0 过点A.平行B. 重合C. 垂直D.相交但不垂直答案】 CsinA b 解析】由题意知 a ≠ 0.s i n B ≠ 0. 两直线的斜率分别是 k 1=－ . k 2=asinBsinA b由正弦定理知 k 1·k 2=－·=－ 1. 故两直线垂直 .a sinB评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理 .6. 已知两条直线 l 1：y =x . l 2： ax － y =0. 其中 a 为实数 . 当这两条直线的夹角在(答案】 C解析】直线 l 1的倾斜角为 . 依题意 l 2的倾斜角的取值范围为4∪( . ), 从而 l 2的斜率 k 2的取值范围为43评述：本题考查直线的斜率和倾斜角 . 两直线的夹角的概念 . 以及分析问题、解决问题的能力 7. 若直线xy1 通过点M (cos ，sin) . 则()ab22221 11 1A ． a 2b2≤1 B ． a 2b 2≥1C ． 22≤ 1 D ． 22≥1 a 2 b 2a 2b 2答案】 D 本题是训练思路的极好素材 . 看能否找到 10 种解法？8．已知点 A( 1,0),B(1,0),C(0,1), 直线 y ax b(a 0) 将△ ABC 分割为 面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是－. ) ∪( .+ )即 : ()4 12 44 4 126 4A. (0.1 )B. 33, 3 ) C.33.1 ∪( 1. 3 ) D. (1. 3 )0. )内变动时 . a 的取值范围是3.1 3∪( 1, 3 ) ) A ． (0,21B ． (1 22 ,12)( C) 21 (1 22 ,13]答案】 B二．填空题(每小题 5分.共30分)9. 过点P(2,3).且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是解析】错解：设所求直线方程为xa y 1.过点P(2,3). 则有a231a1aa∴直线的方程为x y 1 0.错因：少了直线经过原点的情况. 故还有y 3x. 即3x 2y 0也适合题意 .210. 与直线2x 3y 5 0平行 .且距离等于13的直线方程是m5 解析】设所求直线方程为2x 3y m 0. 则1322 32 解得m 18 或m∴直线方程为2x 3y 18 0或2x 3y 8 0.11. 直 线 l 经 过 点 P(2,3) . 且 与 两 坐 标 轴 围 成 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 . 则 直 线l 的 方 程 为 .【解析】 依题意 . 直线 l 的斜率为± 1. ∴直线 l 的方程为 y 3 x 2 或 y 3 (x 2) . 即 x y 1 0 或 x y 5 0.12. 在△ ABC 中.BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0. ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0.若点 B 的坐标为 (1.2 ). 则点 A 和点 C 的坐标分别为 。

【答案】 ( 1,0),(5, 6)13. 光 线 自 点 M(2,3) 射 到 点 N(1, 0) 后 被 x 轴 反 射 . 则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为 .【答案】 3x y 3 014 ． 若 ABC 的 顶 点 A(3,4) . B(6,0) . C( 5, 2) . 则 A 的 平 分 线 AT 所 在 直 线 方 程解析】如图 . 在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路：4法 1 AB 的方程为 y (x 6) 4x 3y 24 0.3 3 3 7AC 的方程为 y 4 (x 3) y x4 4 43x 4y 7 04k 34k 3 (3k 4). 341 k 1 ( )k 431解得 k 7 或 k (舍去)设直线 AT 的斜率为 k. 则用到角公式可得k 34 T40422所以有 y 4 7(x 3) 7x y 17 0。

法 2 k AC tan3.如图有 k AT tan(45 ) 4法 3 取直线 CA,TA,BA 的方向向量分别为 v 1 (4,3), v (1, k), v 2 ( 3,4) .则cos v 2 v4 3k 3 4k k 7. v 2 v1347. 下略。

1 3 7. 下略。

4法 4 设 AT 上任意一点坐标为( a,b ).则4x 3y 24 3x 4y 74x 3y 24 (3x 4y 7) 55检验 .舍去一个即可。

三．解答题(满分 30 分) 15．(7 分)已知点 A(1, 1), B(5, 2).直线 l 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半 .求直线 l 的斜率 .解析】 设直线 l 的倾斜角为 . 则直线 AB 的倾斜角为 2 . 依题意有2tan23. 即3tan 28tan 3 0 . 1 tan 24∴ tan 1 或 tan 3.3 由 002 1800.得0900. 有 tan 0.∴ tan 1. ∴直线 l 的斜率为 1.3316. (7 分)已知三条直线 2x 3y 5 0, 4x 3y 1 0, mx y 0不能构成三角形 .求实数 m 的值.2【解析】 依题意 . 当三条直线中有两条平行或重合 . 或三条直线交于一点时 . 三条直线不能构成三角形 . 故m 或34 2 4 m 或 m 1. ∴实数 m 的取值集合是 , ,1 .3 3 317. (8 分)已知点 A( 3,5), B(2,15) . 在直线 l :3x 4y 4 0上求一点 P.使 PA PB 最小. 【解析】 由题意知 .点 A 、B 在直线 l 的同一侧 .由平面几何性质可知 . 先作出点 A 关于直线 l 的对称点 A'. 然后连结 A'B . 则 直 线 A'B 与 l 的 交 点 P 为 所 求 . 事 实 上 . 设 点 P' 是 l 上 异 于 P 的 点 . 则 P'A P'B P'A' P'B A'B PA PB .tan22 ( 1) 5140422∴ A'(3, 3) .∴直线 A' B 的方程为 18x y 51 0.设 A'(x,y). 则y5. 解得x3 y33x 4y 4 0 . 解得 18x y 51 0 y 8 x 3. ∴ P(83 ,3) . 33 18. （ 8分）在直角坐标系中 . 设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O （ 0.0 ）. P （1. t ）. Q （1－2t .2+ t ）. R （－ 2t .2）.其中 t ∈（ 0. ＋∞） .求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S （t ）.解析】（1）当1－2t >0即 0<t <1时.如图 7—13.点 Q 在第 2 形 OPQK 的面积 .直线 QR 的方程为 y －2=t （x +2t ）.令x =0.得 y =2t ＋2）. ＋2.点 K 的坐标为（ P .2t 2 S OPQK S OPQR S OKR 2( 1 t 2 )2 21(2t 2 2) 2t象限时 .此时 S （t ）为四边 2(1 t t 2 t 3) 当－2t +1≤0.即t ≥1时.如图 7—14.点Q 在y 轴上或第二象限 . S （t ）为△ OP Ｌ的面积.直线 PQ 的方程为 y － t =－1(x －1).令x =0得 y =t +1 tt .点L 的坐标为（ 0.t +1）. t S △OPL ＝ 1(t 1) 1 1(t 1) 2 t 2 t23 2(1 t t 2t 3)所以 S (t )＝ 11(t )2t 0 t 12 1 t 2 附加题（计入总分 .每题 5 分.但总分不超过 100分）：1. 已知长方形的四个顶点 A （0,0） 、 B （2,0） 、C （2,1）和D （0,1） .一质点从 AB 的中点 P 0沿与AB 夹角为 的方向射 到 BC 上的点 P 1后.依次反射到 CD 、DA 和 AB 上的点 P 2 、P 3和P 4（入射角等于反射角） .设 P 4的坐标为 （x 4,0）. 若1 x 4 2.则 tan 的取值范围是（ ） A. (1,1) B. (1,2) C. (2,1) D. (2,2)3 3 3 5 2 5 3 1解析】 用特例法 .取x 4 1.则P 1 、 P 2 、 P 3、 P 4分别为 BC 、CD 、DA 、 AB 的中点.此时 tan .依题意. 4 1 2 3 4 21包含tan 的选项（ A）（B）（ D）应排除 . 故选（ C）.22. 在直角坐标系xOy中.已知△ AOB三边所在直线的方程分别为x=0. y=0.2 x+3y=30.求△ AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数为。