第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

（ ）2. ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：(,)u x y 与(,)v x y 在D 内可微，且满足C-R 方程。

（ ）3.将z 平面上一个点集映射到ω平面上一个点集，z 的参数方程是：()z z t =，ω的参数方程是：[()]f z t ω=，则函数z 与ω导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。

（ ）4. 拉氏变换的微分性质为：若[()]()f t F s =L ，则[()]()(0)f t tF s f '=-L 。

（ ）5. 傅里叶级数001()cos()nnn f t c A n t ωθ∞Γ==++∑表示一个周期为T 的信号()ft Γ可以分解为简谐波之和，这些简谐波的（角）频率分别为一个基频0ω的倍数。

（ ）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 当b a ，分别等于多少时，函数）（3223y -y bx i x )z (f ++=axy 在复平面上处处解析?2. 计算2||2(8)()z zdz z z i =-+⎰。

3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：21()(1)z f z z z +=-，0||1z <<.4. 利用留数定理计算积分 22||2sin (1)z zdz z z =-⎰5. 求微分方程组(29)(3)0(0)(0)1(27)(5)0(0)(0)0x x x y y y x x x x x y y y y y '''''''-+-++===⎧⎨'''''''++--+===⎩的解一、选择题（每小题3分，共21分）1. A2. B3.B4. A5. A6. D7. A.二、填空题（每小题3分，共18分）1.34k 4k 2[cos isin ]k 0,1,26363ππππ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；或533336622,2,2e e e πππ2. ze ； 3. 0； 4. 上半平面()Imz 0>； 5. 反演映射 6. 1.三、判断题 （每小题2分，共10分）1. ×2. √3. √4. √5. √四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分） 1. 解：3223y y bx v axy x u -=+=,u v x y u v yx ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩（3分）222222223,2,2,333,22u u v vx a y a x y b x y b x yxy x y x a y b x y a x y b x y∂∂∂∂=+===-∂∂∂∂⇒+=-=（3分）33=-=⇒b a , （3分）2. 解：2z 2z dz 8-z (z i)=+⎰（）228z izi z π=-=-（5分）（或判断出-i 在圆内，22不在圆内，得2分）29π=（4分）3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：1z 0,1)(z z 1z )z (f 2<<-+=2222z 1z 12121f (z)z (z 1)z (z 1)1z z z+-+===---- （5分）（或：写出洛朗级数公式2分）2212n n z z z∞==-∑2212222n z z z z-=-------1z 0<< （4分）4. 解：由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1（4分）2221sin Re ((),0)0,Re ((),1)lim(-1)sin 1(-1)z zs f z s f z z z z →===（3分）由留数定理，原积分22sin 1i π= （2分）5. 解：2222(29)()(3)()12(27)()(5)()32s s X s s s Y s ss s X s s s Y s s⎧-+-++=+⎨++--+=+⎩（4分）整理得2222()()41()()1s X s Y s s X s Y s s +⎧-=⎪⎪+⎨⎪+=⎪-⎩（4分） 解得222211211()31343421211()313434s X s s s s s Y s s s s ⎧=++⎪⎪-++⎨⎪=-+⎪-++⎩（4分）再取拉氏变换得到其解为：121()cos 2sin 2333221()cos 2sin 2333t t x t e t t y t e t t⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（3分）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 13i +的指数式为（ ）。

A 、232i eπ B 、23i eπ C 、32i eπ D 、62i eπ2. 复函数LnZ （ ）。

A 在复平面上处处解析；B 在复平面上处处不解析；C 除去原点外处处解析；D 除去原点及负半实轴外处处解析. 3. 由柯西积分公式得，积分||12z dzz =-⎰的值为（ ）。

A.0 B. 1 C. 2 D.无解 4. 洛朗级数的正幂部分叫（ ）。

A 、主要部分B 、解析部分C 、无限部分D 、都不对5. z 1sin 在点z=0处的留数为（ ）。

A.-1B.0C.1D.26. 保角映射具有的性质有（ ）。

A. 反演性、保圆性、保对称性 B. 共形性、保角性、保对称性 C. 共形性、保圆性、保对称性D. 反演性、保角性、保对称性7. kt =（e ）L （ ），（()Re s k >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.()53i -= [1] 。

2. 幂级数()21!n nn n z n∞=∑收敛半径为： [2] 。

3. 孤立奇点可分为可去奇点、极点和 [3] 三种。

4. 通过分式线性映射1i z ezϕαωα-=-，(1α<，ϕ为实数)可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<。

5. 在扩充复平面上两点1z 与2z 是关于圆周C 的对称点的充要条件是通过1z 与2z 的任何圆周Γ与C[5] 。

6. 按定义，函数()f x 的傅里叶变换式为 [6] 。

三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 如果平面点集G 中的每一点都是它的内点，则称G 为开集。

（ ）2. ln z 的所有分支可表示为ln 2z Lnz k i π=+。

（ ）3. 设函数()f z ω=在0z 的邻域内有定义，且在0z 具有保角性和伸缩率不变性，则称()f z ω=在0z 时共形的。

（ ）4. 傅里叶级数()()001cos n n n f t c A n t ωθ∞Γ==++∑中()/20/21T T c f t dt TΓ-=⎰的物理意义：表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫做交流分量。

（ ）5. 拉氏变换的微分性质为：若[()]()f t F s =L ，则[()]()(0)f t tF s f '=-L 。

（ ）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 设()3232my nx y i x lxy +++为解析函数，试确定l,m,n 的值2. 计算积分3Czdz z -⎰，:2C z =；3. 将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数()()2112z z +-，12z <<；4. 利用留数定理求积分（圆周均取正向）()()152332412z z dz zz =++⎰5. 求微分方程式的解(4)cos (0)(0)(0)0(0)y y ty y y y c '''''''''+=====（c 为常数）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1. C2.D3. A4. B5. C6. C7.C .二、填空题（每小题3分，共18分）1. ()163i -+ 2. 0 3.本性奇点 4. 单位圆内部1z <5. 正交6.()()i t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰三、判断题 （每小题2分，共10分）1. √2. ×3. √4. ×5. √ 四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 解：由题意知：实部32u my nx y =+、虚部32v x lxy =+2u nxy x ∂=∂，223u my nx y ∂=+∂，223v x ly x ∂=+∂，2v lxy y∂=∂ （2分） 由于()3232m y n x y i xl x y +++为解析函数，故有u v x y u v yx ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （2分） 即22222233nxy lxy my nx x ly=-⎧⎨+=--⎩ （3分）解得m=1，n=-3，l=-3 （2分） 2. 解：由z-3=0，得奇点为z=3（3分）此时不在C 的环域内，由柯西基本定理（3分）知03Czdz z =-⎰（3分）3. 解：22121555112z z z z --=++++- （3分）()()22222111121111115510121112z z z z z z z z =---+-++-()()()2121000112111155102n n nn n n n n n z z z∞∞∞++====-----∑∑∑ （3分）2343221112111112555510204080z z z z z z z z =⋅⋅⋅++-------⋅⋅⋅<< （3分）4. 解：函数()()15232412z zz ++在3z =的外部，除∞点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：()()()1523242Re ,12Cz dz i s f z zz π=-∞⎡⎤⎣⎦++⎰（3分）2112Re ,0i s fz z π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3分）()()232412Re ,0112i s z z z π⎡⎤⎢⎥=⎢⎥++⎣⎦2i π= （3分） 5. 解：方程两边取拉氏变换，得432s ()()1sY s cs s Y s c s -+-=+ （2分） 解出3221()(1)(1)c Y s s s s s =+++（3分） 12222221[]Re [,0]Re [,1](1)(1)(1)(1)(1)(1)st ste e s s s s s s s s s s s -=+-++++++L2222Re [,]Re [,](1)(1)(1)(1)st ste e s i s i s s s s s s ++-++++（3分） 2222201lim()lim()lim()lim()(1)(1)(1)(1)()(1)()st st st sts s s i s i e e e e s s s s s s s i s s s i →→→→-=+++++++++- 111(cos sin )22t t e t t -=-++- （2分）因此，原方程的解11132211()[()][][](1)(1)y t Y s c s s s s ---==+++L L L 2111(cos sin )222t c t t e t t -=+-++-（5分） 第三套一、填空题（每空2分，共20分）1．复数312i-的实部为 [1] ，虚部为 [2] 及其共轭复数为 [3] .2．已知()f z u iv =+是解析函数，其中221ln()2u x y =+，则vy∂=∂ [4] .3．设C 为正向圆周1z =,则dz ie z ⎰-C22π= [5] .4．幂级数31nn z n∞=∑的收敛半径为 [6] .5．0z =是ln(1)()z f z z+=的奇点，其类型为 [7] . 6．设211()1(1)(1)(1)(1)(1)n n f z z z z z =-+--++--+--，则Res[(),1]f z = [8] .7．δ函数的傅里叶变换为()F ω= [9] . 8．函数 1()(1)F s s s =- 的拉普拉斯逆变换为()f t = [10] .二、选择题（每小题2分，共20分）1．复数1682525z i =-的辐角为（ ） A ．1arctan 2B ．-1arctan2C ．π-arctan 12D ．21arctan+π 2．方程2Re 1z =所表示的平面曲线为（ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．在复平面上，下列关于正弦函数sin z 的命题中，错误．．的是（ ） A ．sin z 是周期函数 B ．sin z 是解析函数 C ．sin 1z ≤D ．z cos )z (sin ='4．设C 为正向圆周1z =，则dz zz⎰Ccos =（ ） A ．i π B ．2i π C ．0D ．15．在拉氏变换中，函数1()f t 与2()f t 的卷积，12()()f t f t *为（ ）A ．12()()t f t f t dt -∞⎰B ．120()()tf f d τττ⎰C ．120()()tf f t d τττ-⎰D ．120()()tf f t d τττ-⎰6．幂级数11!n n z n -∞=∑的收敛区域为（ ）A ．0z <<+∞B ．z <+∞C ．01z <<D ．1z <7．设()(2)ze f z z z =-的罗朗级数展开式为n n n c z +∞=-∞∑，则它的收敛圆环域为（ ）A ．02z <<或2z <<+∞B ．022z <-<或22z <-<+∞C ．02z <-<+∞D ．022z <-<8．3z π=是函数sin()3()3z f z z ππ-=-的（ ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点9．2Res[,2](2)zi z i -=+（ ）A ．2iB ．-1C ．2i -D ．110．0()t t δ-的傅里叶变换为（ ）A ．1B ．0tC ．0i t e ω-D ．0i t e ω三、计算题（每小题8分，共24分）1． 已知||2sin4()d f z zζπζζζ==-⎰，求(12)f i -，(1)f ，(1)f '。