D
3
C
F
∵ ∠ACB= 2∠F（三角形 的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和）
AD=AD（公共边）
1 2 *
∴△ABD≌△AFD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等） ∴∠ACB=2∠B（等量代 ∵ CF=CD（已知） 换） ∴∠B=∠3（等边对等角）
练习2 如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、 BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN 于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。
1 2 3 *
A
3
N 4 D
1 2
B M C
∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）
∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）
AD=CD（已知） ∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴ ∠4=∠C
（全等三角形的对应角相等）
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
A
3
N 4 D
1 2
B M C
∴ ∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）
1 2 3 *
∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD （已证） AD=CD（已知） ∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）
（平角定义）
∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换）
例1
证明:
已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵ ∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） ∴ ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
证明:
在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边） ∴△AED≌△ACD（S.A.S） ∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) ED=CD（全等三角形的对应边相等）
A
方法三： 作 D M ⊥ A B 于 M ，
DN⊥AC于N。
M N C
必有结论： △AMD≌△AND。
B
D
DM=DN ， AM=AN，∠ADM=∠AND。
（还可以用“角平分线上的点到角的两 边距离相等”来证DM=DN）
1 2 3 *
例1
证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中 ∵ AB=EB（已知） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S） ∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）
1 2
B C
∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∵ ∠F＝∠C（已证） ∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等） ∴∠4=∠C（等量代换） DF=DC（全等三角形的对应边相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°
1 2 3 *
∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证） ∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠F（等边对等角）
一、倍长中线 法 遇到中线可以利用 倍长中线，
构造全等三角形。
如图，若AD为△ABC的中线，
构造 X 全等 ，即把中线延长一倍，来
1
A
延长AD到E，使DE=AD， 连结BE（也可连结CE）。
结论： △ABD≌△ECD， ∠1=∠E，∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。
E
B D 2 C
二、角平分线对称全等
N C F
3 0 * **
如何利用三角形的高来构造全等三角形？
如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC， ∠ ABC=2 ∠ C。 求证：AB+BD=CD
提示：
（1）延长DB到点E， 使BE=AB，连结AE。 （2）在DC上截取点E， 使DE=BD，连结AE。
A
B
D
0 *
C
**
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
证明:
延长AC到F，使CF=CD，连结DF。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵ AB=AC+CD，CF=CD（已知） ∴ AB=AC+CF=AF（等量代换） 在△ABD和△AFD中 ∵ AB=AF（已证） ∠1=∠2（已证）
12
B
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。
可以利用角平分线所在直线 作对称轴，翻折三角形来构造全 等三角形。
A
方法一： 在 AB 上截取 AE=AC ，
连结DE。
E
必有结论： △ADE≌△ADC。
B
D
C
∠ADE=∠ADC。 ED=CD ， ∠ AED= ∠ C ，
1 2 3 *
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。
例1
证明:
已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
∴ ND=MD（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD （已证）
G M D A 3 4 E
21 22 3 0 * **
N
1
2
P
B
C Q
练习2 如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、 BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN 于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。
证明: 延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。
G M D A 3 4 E
21 22 3 0 * **
1 2 *
12
E B 3 4
D
C
∴∠B=∠4（等边对等角） ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B （三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角和）
又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知）
∴EB=DC=ED（等量代换）
∴∠C=2∠B（等量代换）
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
例1
证明:
已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 F
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
在△BFD和△BCD中 ∵ BF=BC（已知）
A
34D∠1=∠2已证）BD=BD（公共边）
1 2 3 *
已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
A
D
1 2
B
3 E
4 C
∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换）
AD=DE（全等三角形的对应边相等） ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） ∴DE=DC（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角）
可以利用角平分线所在直 线作对称轴，翻折三角形来 构造全等三角形。
A
方法二： 延 长 A C 到 F ， 使
AF=AB，连结DF。
必有结论： △ABD≌△AFD。
B
D
C F
BD=FD ， ∠B=∠F， ∠ADB=∠ADF。
1 2 3 *
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。
可以利用角平分线所在直 线作对称轴，翻折三角形来 构造全等三角形。
N
1
2
P
B
C Q
练习3 已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AE⊥BC， BD是∠ABC的角平分线， GF∥BC ，求证：AD=FC。 证明: 过D作DH⊥BC，垂足为H。
A G 1 2
D
F
B
3 0 * **
E
H
C
小结：
如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？
可以利用角平分线所在直线作对称轴， A 翻折三角形来构造全等三角形。 如图，在△ABC中，AD为 ∠BAC的角平分线。 M （ 1 ）在 AB 上截取 AE=AC ， E 连结DE。 必有结论：△ADE≌△ADC。 D （ 2 ）延长 AC 到 F ，使 AF=AB ， B 连结DF。 必有结论：△ ABD ≌ △ AFD 。 （3）作DM⊥AB于M， DN⊥AC于N。 必有结论：△AMD≌△AND。
证明: 延长AE，交直线PQ于点F。
M D A 3 4 E
21 22 3 0 * **
N
1
2
5
P
B
F
C Q
练习2 如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、 BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN 于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。
证明: 延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。