相似形与比例线段【放缩与相似形】如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
【比例线段】线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。
即两条线段的长度的比。
如：线段a 与b 的比，记作ba （或a ：b ），若ba ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。
比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即dc ba =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。
如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。
特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。
常用这种变形方式转化字母间的关系：①dc ba =，②dbc a =，③a c bd =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧cd a b =。
合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒=等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba nd b m c a nm dc ba比例尺：比例尺＝实际距离图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。
黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割。
其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为215-，近似值为0.618。
【三角形一边的平行线】三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.符号语言：∵ECAEDBAD=)(ACECABDBACAEABAD==或∴DE∥BC熟悉定理的几种变形井字型 A字型 X字型倒 A字型畸形(O无用)三角形的重心：三角形三条中线的交点（交于一点）。
三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
平行线分线段成比例定理（1）、定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
（2）、推论：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
B C【课堂练习】一、填空1．已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。
2．已知n m =q p =32(n+q≠0)，则q n p m ++＝ 。
3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。
4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ．5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。
6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。
7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53，△AEF 的周长为 。
8．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ∶FD ＝1∶3则AE ∶EB ＝ ；若AF ∶FD ＝1∶n （n ＞0），则AE ∶EB= 。
二、选择9. 已知a 2=b 1，则b a ba -+2的值（ ）A ．-5B ．5C ．-4D ．410．已知3a ＝5b ，下列各式的值在2与3之间的是（ ）A ．a b a +B ．b b a +C ．b b a -D ．b a b a -+11．如图BD ，CE 是△ABC 的中线，P ，Q 分别是BD ，CE 的中点，则PQ ∶BC 等于（ ） A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶612.已知，如图l 1∥l 2∥l 3下面等式①AC AB =CF AD ②CA BC =FD EF ③DE AB =AC DF ④DE AB =BE AB⑤AB ∶BC ∶AC=DE ∶EF ∶DF 能成立的等式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平行于梯形两底的直线交梯形两腰AB ，CD 及两条对角线BD 、AC 分别于点E 、F 、G 、H ，若AE ∶EB=HG ∶GE=2∶1，则用AD ∶BC 等于（ ） A ．1∶2B ．1∶2C ．2∶3D ．3∶414．如图，l 1∥l 2，AF ∶FB ＝2∶5，BC ∶CD=4∶1，则AE ∶EC ＝（ ） A ．5∶2 B ．4∶1 C ．2∶1 D ．3∶2三、解答下列各题15．在边长为8的正方形ABCD 中，P 为AD 上一点，且AP ＝5，BP 的垂直平分线交AB 、DC 分别于E ，F ，Q 为垂足，试求EQ ：QF 的值．16．如图，AC ∥BD ，AD 和BC 相交于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，且AE ＝p ，BD ＝q ，BF ＝r ，（1）试证P 1+q 1=r 1,（2）图中AC ＝20,BD ＝80，试求EF 的值。
17．已知：如图△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M ，求证：（1）AM AN =OM ON（2）BM=MC ，且DN=NE18．如图AB ， DC 都在 BC 的同侧且AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ，AC 、BD 交于点P ，PQ ⊥BC 于Q ，试证PQ 平分∠AQD 。
19．已知如图，点D 是△ABC 边BC 上一点，且BD ∶DC ＝2∶3，过点C 任作一条直线与AB 、AD 分别交于点F 和E ，求证ED AE =BF AF35.20.已知：如图，△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上一点，AF BF =n m（m ，n ＞0）取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于E(1)求EC BE的值（2）如果BE ＝2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论。
（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应n m的值；如果不能，证明你的结论.21．如图梯形ABCD 中AB ∥DC ，∠B ＝90°，MN ∥AB ，AB ＝6，BC ＝4，CD ＝3，设DM ＝x ，（1）设MN ＝y ，用x 的代数式表示y ．（2）设梯形MNCD 的面积为S ，用x 的代数式表示S ．（3）若梯形MNCD 的面积S 等于梯形ABCD 的面积的31，求DM ．22．）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实．（1）当AC AE =21=111+时，有AD AO =32=122+（如图甲） （2）当AC AE =31=211+时，有AD AO =42=222+（如图乙） AC AE =31=211+时，有AD AO =42=312+（如图丙）在图丁中，当AC AE =n 11时参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）。
23．如图，在△ABC 的边 AB 上有一异于中点的动点P ，沿平行于 BC 的方向运动到AC 边于点D ，再沿平行于AB 方向运动到BC 边于点E ，再沿平行于CA 方向运动到AB 边于点F……如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，那么这样运动2008次点P 在那里？24. 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。
求证：BC CA BC AB ++=ME AE证明：∵BE AB =ME AM =CE AC ，∴ CE BE AC AB ++=EM AM， 即BC AC AB +=ME AM ，∴BC CA BC AB ++=ME ME AM + 即BC CA BC AB ++=ME AE25. 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ．证明：∵GF ∥AD ∴AD GF ＝ED EF（1） 又FB ∥DC ∴DC FB ＝ED EF（2）又AD ＝DC （3）由（1）（2）（3）得：AD GF ＝AD FB，∴GF=FB【巩固训练】1. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 的∠A 的内角平分线和外角平分线，分别交BC 和BC 的延长线于点D 、E ，且2AB=3AC. 求BD: DC: CE 的值。
（角平分线定理）2.如图△ABC 为等腰三角形，且顶角A 为36°. 求BCAB的值3.已知线段AB 的长为4cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，则线段BP 的长为多少cm ？ 解：①当BP>AP 时，由黄金分割含义得.BPABAP BP = 由于 AB=4cm ，所以 AP=4-BP)4(42BP BP -=01642=-+BP BP 5222544264164±-=±-=+±-=BP因为 0522<--（不合题意，舍去） ②当BP<AP 时，由于cm AP )252(-= 所以 cm BP )526()252(4-=--= 所以 BP 长为cm cm )526()252(--或。
ED C B ACBA【黄金分割点定义】线段上一点把线段分成两段，若较长的线段与较短线段之比等于原线段长度与较长线段之比，（即较长的线段长度是较短线段长度和原线段长度的比例中项），则这样的分割叫做黄金分割，这一点称为线段的黄金分割点，此时较长线段为原线段的0.618。
本题不知BP 是较长部分，还是较短部分，所以解本题时要分两种情况讨论。
4.如图，△ABC 中，DE//BC, P 为BC 上一点，F 是AP 延长线上一点，FD 、FE 分别交BC 于点G 、H. 求证:PG PH=PB PC5.如图，AC=BC, F 为底边AB 上一点，BF =AF mn（m 、n >0）.取CF 中点D, 连AD 并延长交BC 于E. (1)求BEEC的值； （2）若BE=2EC, 则直线CF 与边AB 有怎样的位置关系？并证明之。