相似形——比例线段
知识点1：比例线段
1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或
a m
b n
=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。
2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线
段成比例线段，简称比例线段。
例如线段a 、b 、c 、d ，如果a c
b d
=，则称线段a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d
b c
=。
3、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项： 若
a c
b d
=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项。
知识点2：比例性质
1、基本性质：如果a c
b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b
c =。
2、合比性质：如果a c b
d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d
b d
±±=。
3、等比性质：如果n
m d c b a === （0≠+++n d b ），则n
m
d c b a n d b m c a ====++++++ ，运用这个性质时，一定要注意0≠+++n d b 的条
件。
典型例题 例1、已知
34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c
b
，若a 是b 、c 的比例中项，则=c
b。
例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f
-+-+的值。
例3、已知
118x y x +=，求x
y。
例4、如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E 点，若AD ︰DB ＝2︰3，
AC ＝15，求DE 的长。
例5、在比例尺为1：8000的安庆市城区地图上，集贤南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为（ ）。
A ．320cm
B ．320m
C ．2000cm
D ．2000m
例6. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a ∶d =c ∶b
B.a ∶b =c ∶d
C.d ∶a =b ∶c
D.a ∶c =d ∶b
（2). 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )
A.d
c b a =
B.c c b d d a +=+
C.c d
b
a =22 D.
d
a
cd ab =
例7：已知线段3，4，6与x 是成比例线段，则_______=x 。
已知线段3，4，6与x 能组成成比例线段，则_______=x 。
拓展与创新 1、已知3
42b
a c a c
b
c b a -+=-+=-+，则4::2a b c =
2、若
22
33
x y y x -=-，则x y 为（ ）。
A ．
512 B ．125 C ．712 D ．5
12- 3、已知：3
5
a c e
b d f ===，则a
c b
d +=+_______，2323a c
e b d
f +-=+-_______。
4 （1）已知b
a a
b b a x +=+=+=
2
22，求x 的值
（2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y
x z
y x -++2的值 5．已知
572z y x ==，设x
z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ ）
6．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c
b a z y x 3232
黄金分割
把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。
2
1
5,
215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
例1、如果线段上一点P 把线段分割为两条线段PA 、PB 当PA 2
=PB ·AB,
即PA ≈0.618AB 时,则称点P 是线段AB 的黄金分割点,现已知线段
AB=10,点P 是线段AB 的黄金分割点,如图所示,那么线段PB 的长约为（ ）。
A 、6.18 B 、0.382 C 、0.618 D 、3.82
2．已知AB=1，)15(2
1
-=
AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A 、215- B 、2
1
5+ C 、)53(21- D 、)53(21+
3．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）
A 、2
B 、15+
C 、2或15+
D 、以上都不对
例4.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )
A ．AM ∶BM =A
B ∶AM B.AM =215-AB C.BM =2
1
5-AB D.AM ≈0.618AB
例5．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2
，求：AC
CD
的值
A
C
D
B
形状相同的图形
两个图形的形状完全相同，但图形的大小位置不一定相同 这样的两个图形叫做形状相同的图形(相似图形)
思考
所有的等腰三角形都相似 所有的等边三角形都相似
所有等腰直角三角形都相似 所有的直角三角形都相似
所有的等腰直角三角形都是形状相同的图形
所有的菱形都是形状相同的图形
所有的圆柱体都是形状相同的图形
练习
1. 已知x
b
c a x a c b x c b a =+=+=
+,,，求x 的值
2、量得两条线段a ，b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。
3、如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5， （1）AC ∶CB ＝ ；AC ∶AB ＝ ； （2）
_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD
AD。
4、若x 是8和4的比例中项，则x 的值为（ ）
A
． B
．- C
．± D ．以上答案均不对 5、已知
32=y x ，则______=+y y x ，______=+y x x ，______=+-y
x y x 。
6、若
43=-y y x ，则______=y
x
；若045=-y x ，则x ∶y = 。
7、已知
)(0c b a k c
b a d
d b a c d c a b d c b a ≠++=++=++=++=++，则k 等于（ ）
A ．1
B ．
21 C ． 31 D ． 4
1 8、已知A 、B 两地的实际距离AB ＝5千米，画在地图上的距离B A ''＝2㎝，则这张地图的比例尺是（ ）。
A 、 2∶5 B 、 1∶25000 C 、 25000∶1 D 、 1∶250000
9、 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则下列等式中成立的是（ ） A ．AB 2
=AC ·CB B ．CB 2
=AC ·AB C ．AC 2
=CB ·AB D ．AC 2
=2BC ·AB 10、把长为7cm 的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）
A
B
D
11、已知=-+=+-=c b a a b c c b a 23,632,5:4:2::则且 。
12、将数48分成三部分，且三数之比为2:4:6，则最小数是（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．4
13、两个相似三角形的相似比系数为2=k ，如果它们的周长之差4cm ，那么这两个相似三角形的周长分别是 。
14、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么这三条线段的和与b 的比等于（ ）
A 6:1
B 1:6
C 3:1
D 1:3
15、若062
2=--y xy x ，则=y x :
16、如果5:4:3::=c b a ，那么
=+--+c
b a c
b a 3532
17、已知三个数1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是________。
18、已知：如图，在ABC ∆中，12=AB ，6=AE ，4=EC ，且
AD AE DB
EC
=
A D B
（1）求AD 的长；（2）求证：AC EC AB DB 。