二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.要点诠释：二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).三、规律方法指导1.如何判断一个式子是否是二次根式？(1)必须含有二次根号，即根指数为2；(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.经典例题透析类型一：二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)；(2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质3、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0)(6)思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．解：(1) (2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)．举一反三【变式1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)∵a2≥0，∴；(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.4、化简:(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；(3)==5；(4)==3.5、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a，则a可以是什么数？(3)＞a，则a可以是什么数？思路点拨：∵=a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以a≥0；(2)因为，所以a≤0；(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用6、当x=-4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.7、(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求的值．解：(1)由可得，，(2)8、在实数范围内分解因式：(1)x2-5；(2)x3-2x；解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是( )A．B．C．D．2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )A．5 B．C．D．以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠0D．x≥0且x ≠ 14．的值是( )A．0 B．C．4D．以上都不对5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )A．B．C．D．6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是()A．B．C．D．二、填空题1.若，则x = ____________.2.若有意义，则的取值范围是____________.3．-=________．4.=____________.5.=____________.6.若，则____________.7.若，则____________；若，则____________.8.化简：=__________.9. 计算：(1)=_______；(2)=________；(3) =________。
10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有_______个．三、解答题1. 求下列二次根式中字母a的取值范围：(1)，(2)；(3).2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升一、选择题1.使式子有意义的未知数x有( )个A．0B．1C．2 D．无数2.(山西省临汾市) 若，则与3的大小关系是( )A．B．C．D．3.下列计算正确的是( )A．B．C．D．4.(福建省厦门市) 下列四个结论中，正确的是( )A. B. C. D.二、填空题1.若，则____________.2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．3.已知实数在数轴上的对应点如图所示，则____________.三、解答题1.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？2.若+有意义，求的值.3.(北京市海淀区) 已知实数x，y满足，求代数式的值.4.已知，求x+y的值.综合探究1.(福建省南安市) 观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，……那么第10个数据应是____________.2.(江苏省苏州市)等式中的括号应填入____________.3．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．4. 若时，试化简.5．在实数范围内分解下列因式:(1)；(2).答案与解析基础达标一、1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B二、1.16 2. 3.-0.02 4. 5.2-x6.7.8.9.(1)；(2)6；(3)-610.4三、1.解：(1) 由a+1≥0 ，得 a ≥-1∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。
(2) ＞0，得1-2a＞0，即a＜∴字母a的取值范围是小于的实数。
(3) 因为无论a取何值，都有，所以a取值范围是全体实数。
2.解：设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．能力提升一、1.B 2.B 3.B 4.D二、1. 2.5 3.b三、1.解：依题意得：，∴当x≥-且x≠0时，＋x2在实数范围内有意义．2.解：，且+有意义3.解：4.解：综合探究1. 2.-4xy3.解：甲；甲没有先判定1-a是正数还是负数.4.解：5.解：(1)；(2).。