目录第一节等腰三角形 (1)第二节直角三角形 (7)第三节线段的垂直平分线 (12)第四节角平分线 (16)第五节一元一次不等式 (20)第七节一元一次不等式组 (30)第八节一元一次不等式组的应用 (33)第十节图形的平移与旋转 (44)第十一讲中心对称 (49)第十二讲本章复习 (54)第一节等腰三角形知识点一：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等（简写成“等边对等角”）例1. 等腰三角形的一个角是70°，它的一个底角的度数是。

例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3，则周长为。

例3. 如图1，△ABC 中，AB=AC=BD，DA=DC，则∠BAC 的度数是。

图1 图2知识点二：等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合例4. 如图2，在三角形ABC 中，AB=AC。

若AD⊥BC，则，；若BD=CD，则，；若AD 平分∠BAC，则，；例5. 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点E．求证：∠CBE=∠B AD．知识点三：两边相等证等腰三角形例6. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。

求证：△ABF 是等腰三角形．1知识点四：两角相等证等腰三角形（等角对等边）例7. 如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个例8. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。

求证：△ABC 是等腰三角形．知识点五：角平分线+平行线=等腰三角形例9. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，交AC 于N，求证：BM+CN=MN2知识点六：等边三角形的边都相等，角都相等，并且每一个角都等于60°。

例10. 如图，△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 上，连接CE，求证：BD=CE．知识点七：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

例11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，CD⊥AB，BD=2，则BC= ，CD= ，AC= ，AD= 。

知识点八：等边三角形的证明例6. 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④例7. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是边AC 的中点，连接BD，EC⊥BC 于点C，CE=BD．求证：△ADE 是等边三角形．3【巩固训练】1.等腰三角形的一个角是100°，它的一个底角的度数是（）A. 100°B. 40°C. 100°或40°D. 80°2.已知实数x，y 满足，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．30 或39 B．30 C．39 D．以上答案均不对3.如图1，D、E、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF 的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．下列命题中真命题的个数有（）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形都是锐角三角形；④等边三角形是等腰三角形；⑤有一个角是60°的三角形是等边三角形.个B．2 个C．3 个D．4 个5.如图2，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是线段BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A．3.7 B．4 C．5 D．7图1 图2 图36.如图3，下列条件不能得到△ABC 是等腰三角形的是（）A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CADC．AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D．AD⊥BC，BD=CD7.如图4，△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD，则∠A= 。

8.如图5，在△ABC 中，BC=5cm，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是cm．9.如图6，ΔABC是等边三角形，D 为BA 的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF//AB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。

4图4 图5 图610.如图，点E，F 在BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF 与DE 交于点O．（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF 的形状，并说明理由．5【家庭作业】1.等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（）A．5 B．4 C．6 D．4 或62.如图1，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 边上，AB=AC，BE=BC，AE=DE=DB，那么∠A= 度．3.在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A（1，2），在y 轴的正半轴上确定点P，使△AOP 是以OA 为腰的等腰三角形，则点P 的坐标为。

4.如图2，在△PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是PA，PB，AB 上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠ MKN=44°，则∠P 的度数为。

图1 图25.已知，如图在△ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E，∠ACB 的补角∠ACD 的平分线为CG，EG∥BC 交AC 于F，EF 会与FG 相等吗？为什么？6.如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，求证△ADE 是等边三角形。

6第二节直角三角形知识点一：直角三角形中的互余问题例1 . 如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，求证：（1）∠B=∠ACD （2）∠A=∠BCD知识点二：一锐角+一边对应相等证直角三角形全等例2 . 如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D，E．求证：AD=CE．知识点三：两边对应相等证直角三角形全等例3. 如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC 与BD 相交于点O．求证：△OBC 是等腰三角形．知识点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7例4. 已知：如图，在△ABC 中，BD、CE 分别是边AC、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且MN ⊥DE，垂足为点N。

求证：ME=MD；知识点五：等腰直角三角形的性质例5. 如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，则∠B= ，∠C= ，该三角形叫三角形，且AB:AC:BC= .AB AC BC34 210例6. 如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB 边上的一点。

（1）求证：△ACE ≌△BCD （2）若AD=5，BD=12，求DE 的长。

8【巩固训练】1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等2.如图1，在R△ABC 中，CD、CE 分别是斜边AB 上的中线和高，CD=8，CE=5，则Rt△ABC的面积是（）A．80 B．60 C．40 D．203.如图2，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D 为斜边AB 的中点，若CD=3cm，则BC是（）A．5cm B．3 cm C．3 cm D．6cm图1 图2 图34.如图3，将一副三角板（一个等腰直角三角形和一个锐角为60°的直角三角形）如图3 所示叠放在一起，若DB=20，则阴影部分的面积为。

5.如图在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C，且AD⊥MN 于D，BE⊥MN 于E．求证：BE=AD+DE．9【家庭作业】1.下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6 个B．5 个C．4 个D．3 个2.如图1，在△ABC 中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD 是斜边BC 上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C 除外）相等的角的个数是（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个图1 图2 图33.如图2，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4，AE 平分∠BAC 交BC 于点E，点D 为AB 的中点，连接DE，则△BDE 的周长是。

4.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD 于点E．求证：AD=BE．5.在△ABC 中，AB=CB，∠ACB=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF。

证：Rt∆ABE ≅Rt∆CBF106.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：△OBC 是等腰三角形．7.如图，在RT△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D，∠BAC 的平分线AE 交BC，CD 于点E，F。

求证：△CEF 是等腰三角形11第三节线段的垂直平分线知识点一：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的的距离相等例1. 如图1，在RT△ABC 中，∠B=90°，ED是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠B=10°，则∠C 的度数为。

图1 图2例2. 如图2，AB＝AC＝5cm，BC＝3cm，直线l 是AB 的垂直平分线，AC 与l 相交于点D，则△BDC 的周长是（）A．10 cm B．11 cm C．6 cm D．8 cm例3. 在△ABC 中，∠B＝22.50，∠C＝60°，AB 的垂直平分线交BC 于点D，BD＝6 ，AE⊥BC 于点E，求EC 的长。

知识点二：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上例4. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线上，DE 交AC 于F。