也是
例1 证明集合
E
y
y 1, x
x ( 0 ,1)
是无界数集.
证明：对任意 M 0 , 存在
x 1 (0,1) , y 1 E, y M 1 M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
2❖确定界义: E R, 数M若满足
❖ 1）M是E的上界
2）M是 任一上界，必有 M M 则称M是
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A {a1 , a2 , , an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
❖ 闭区间 a, b 、开区间 (a,b) 为有限
数）、邻域等都是有界数集，
❖ 集合 E y y sin x, x ( , )
也是有界数集.
❖ ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) , 等都是无
❖
界数集,
集合 E
y
无界数集.
y 1, x
x(
0
,
1
)பைடு நூலகம்
xE
❖ 命题2 m= inf E 的 充要条件
1）m是E的下 界，
2） 0, x E 使得 x＜/ m .
❖
例2
⑴
S
1
(1 ) n n
,
则
❖ supS ______, inf S _______.
❖ ⑵ E y y sin x, x (0,).
❖ 则 supE ________, inf E _________. ❖ 例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则
故由下确界的定义证得 sup A inf B.
例5 A 和 B 为非空数集, S A B.
试证明: inf S min inf A , inf B .
证 x S, 有 x A 或 x B,
由 inf A 和inf B分别是 A B 的下界,有
x inf A 或
x inf B. x min inf A , inf B .
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
二 有界集·确界原理
❖ 1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界)
❖ 数集S有上界 M ¡ ,x S有x M. ❖ 数集S无上界 M ¡ ,x0 S有x0＞ M. ❖ 数集S有下界 L¡ ,x S有x L. ❖ 数集S无下界 L ¡ ,x0 S有x0＜ L. ❖ 数集S有界 M ¡ ,x S有 x M. ❖ 数集S无界 M ¡ ,x0 S有 x0 ＞ M.
即 min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
又 S A, S 的下界就是 A 的下界,
inf S 是 S 的下界, inf S 是
A 的下界, inf S inf A;
同理有 inf S inf B.
于是有 inf S min inf A , inf B
上确界，即 M 是上界,但 M M 。
令 M M 0 ，由2)， x E ，
使得 x M M ，与M 是E的上界
矛盾。
❖ 定义2 E R，m满足
❖ 1） m 是下界，
❖ 2）m' 是E的任意下界，必有m' m .
❖ 则称m为E的下确界或最大下界。记作：inf E 或 inf x .
综上, 有 inf S min inf A , inf B
例5 A 和 B 为非空数集, S A B.
试证明: inf S min inf A , inf B .
证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y. 而此式又表明数 supA 是数集B的一个下界,
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
E的最小上界或上确界，记 作 M supE
或 M sup x 。
xE
❖ 命题1 M supE 的充要条件 1）M 是E上界， 2） 0, x E 使得 x M 。
❖证 必要性，用反证法。设2）不成立，
则
使 0 得 0,
，x 均E
有 x M 0 ，与M是上确界矛盾。
❖ 充分性， 用反证法。设M不是E的
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
有 supS sup A, inf S inf A.
.
❖ 例4 设A和B是非空数集. 若对x A 和y B ❖ 都有x y, 则有 sup A inf B.
❖ 证 y B, y 是A的上界, sup A y.
❖ sup A 是B的下界, sup A inf B.
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A,y B有x y.