人教版初一数学(上)一对一提优讲义-第讲.有理数与数轴(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21 / 14模块一 有理数基本概念定 义示例剖析正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数．在小学学过的数，除0外都是正数．正数都大于0．负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0．0既不是正数，也不是负数．正数：1，2.5，43，……负数：1-，5-，12-，……一个数字前面的“+”，“-”号叫做它的符号．正数前面的“+”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 用正、负数表示相反意义的量．．．．．．： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然．“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -．有理数：整数与分数统称有理数．()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零负整数负有理数负分数正整数：1，2，10，……负整数：3-，6-，15-，……正分数：23，1.5，0.3&，……负分数：15-， 3.25-， 1.62-&，…… 注：⑴ 正数和零统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；⑶ 正整数和零统称为非负整数； ⑷ 负整数和零统称为非正整数．【夯实基础】【例1】 ⑴ 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）A ．节约汽油10升和浪费粮食10kgB ．向东走8公里和向北走8公里C ．收入300元和支出100元D ．身高180cm 和身高90cm第一讲 有理数与数轴2 / 14⑵ 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ）A ．前进18-米的意义是后退18米B ．4-万元的意义是亏损4万元C ．收入的相反意义是支出D ．后退4-米的意义是前进4米⑶ 如果零上5℃记作5+℃，那么零下5℃记作（ ）A ．5-B ．10-C ．5-℃D ．10-℃⑷ 如果水位升高4m 时水位变化记作4m +，那么水位下降3m 记作______m ，水位不升不降时水位变化记作______m . ⑸ 甲，乙两地的海拔高度分别为200米，150-米，那么甲地比乙地高出（ ）． A ．200米 B ．50米 C ．300米 D ．350米⑹ 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±（ml ）”字样，请问“60030ml ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ， 589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？⑺ 在下表适当的空格里打上“√”号．整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 01.5- 140.62+3- 0.31& π 98-【解析】 ⑴ C ；⑵ B ；⑶ C ； ⑷ 3-，0； ⑸ D ；⑹ “()60030ml ±”表示每瓶饮料容量最小可以是()60030ml -，最大可以是()600+30ml ，抽出的5瓶容量均在()60030ml -与()60030ml +之间，因此合格．⑺整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 √ √ √ 1.5- √ 14 √ √ √ √ 0.62+ √ √ √ √ 3- √ √ 0.31& √ √ √ √ π√√√3 / 1498- √【能力提升】【例2】 ⑴ 一种零件的长度在图纸上是()0.050.0520+-米，表示这种零件加工要求最大不超过 米，最小不小于 米．（北京师范大学附属实验中学） ⑵ 1是（ ）A ．最小的整数B ．最小的正整数C ．最小的自然数D ．最小的有理数⑶ 4.5-，6，0，2.4&，π，12-，0.313-&&，3.14，11-，以上各数中 属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数.⑷ 在15，38-，0.15，30-，12.8-，225中，负分数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 （人大附中期中）【解析】 ⑴ 20.05 19.95 ⑵ B ⑶属于负数的有： 4.5-，12-，0.313-&&，11-；属于非正数的有： 4.5-，0，12-，0.313-&&，11-；属于非负有理数：6，0，2.4&，3.14 ⑷ B .模块二 数轴定 义示例剖析数轴：规定了原点．．、正方向．．．和单位长度．．．．的直线．⑴ 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．⑵ 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．⑶ 数轴的画法①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：画数轴的常见错误：没有原点没有正方向没有原点-1123122344 / 14③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．单位长度不统一没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来． 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π．利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．01b a <<<【夯实基础】【例3】 ⑴ 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“<”连接．115 3.5140 2.522+--，，，，，，（北京101中学期中）⑵ 45-和0.9-的大小关系是：45-____0.9-⑶ 数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．（北京四中期中）⑷ 数轴上点A 对应的数为3-，那么与A 相距1个单位长度的点B 所对应的数是_________．⑸ 数轴上的点A 、B 分别表示数3-和1，点C 是AB 的中点，则点C 所表示的数是_________．（人大附中单元测试）⑹ 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的 整数为 ．⑺ 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .【解析】 ⑴ 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的数大，故113.510 2.54522-<-<<<<<+.π-14321ba1-3.5-112+542.5120-4-3-2-1543210-1.3 2.65 / 14⑵ >； ⑶ 3±；⑷ 4-或2-; ⑸ 1-; ⑹ 1-，0，1，2; ⑺2000【能力提升】【例4】 ⑴在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，此时这个点表示的数是（ ） A ．5 B ．1 C ．1- D ．5-⑵ 一个点从数轴上表示2-的点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位 长度，则终点表示的数是_________． ⑶ 数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？【解析】 ⑴ C ；⑵3-；⑶ 蚂蚁6s 共爬行12个单位长度；B 点到A 点的距离为6个单位长度；B 点对应的数是5．【例5】 ⑴ 已知数轴上有A 、B 两点，它们之间的距离为1，点A 与原点的距离为3，那么点B所对应的数为 .⑵ 在数轴上，N 点和O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点 表示的数是____________.⑶ 已知下图中数轴上线段MO (O 是原点)的七等分点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，只有两点对应的数是整数，点M 对应的数m ＞10-，那么m 可以取的不同值有 个，m 的最小值为 .【解析】⑴ 4或2或2-或4-.⑵ N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍.① 若N 点在数0和30之间，设N 点到O 点的距离为x ，则5x =30，x =6.所以N =24.② 若N 点在30右边，设N 点到O 点的距离为x ，那么N 点到30所对应的点的距离即为x ，O 点到30所对应的点的距离为3x ，则3x =30，x =10. 所以4x =40.N =40.N 点表示的数是24或40.⑶ 七等分点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论：54BA123-1OFEDCBAM6 / 14①若点F 为整数，则有点A 、B 、C 、D 、E 均为整数，不符合题意；②若点E 为整数，则有点A 和点C 都为整数，也不符合题意； ③若点D 为整数，则点A 为整数，符合题意；④若点A 或点B 或点C 为整数，则都只有一点为整数，不符合题意. 通过以上的分析，可以发现只有点A 和点D 对应的数为整数. 由题意得：对应的数为整数的两点为点A 和点D ，∴73m 为整数，且7m 和72m都不为整数，又0＞m ＞10-， 解得：328-=m 或314-或37-.【拓展】如图，已知数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个单位，如果A 对应的实数为a ，B 对应的实数为b ，且29b a -=，那么数轴上的原点应该是A 、B 、C 、D 中的哪一点？【解析】 从数轴上可以看出：b a >，且4b a -=，由于29b a -=，所以5a =-，所以比a 大5的c 是原点。

模块三 相反数、倒数定 义示例剖析相反数：只有符号不同．．．．．．的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在． 例如：5+和5-互为相反数，或者说5+是5-的相反数，5-是5+的相反数；例如：3+与3-互为相反数，而3+与2-虽然符号不同，但它们不是相反数． 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．一般地，数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时，0a -<；当0a =时，0a -=；当0a <时，0a ->．例如：3的相反数为3-3-的相反数为(3)--0的相反数为0(3)0-->互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数． 一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．例如：3与3-互为相反数，则3+(3)-=0DC B A 4-47 / 14多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）例如：()++66+=⎡⎤⎣⎦(){}66----=⎡⎤⎣⎦[]55--=-（-）倒数：乘积为1的两个数互为倒数．a ，b 互为倒数，则1a b ⋅=；反之亦然．负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数．若a ，b 互为负倒数，则1a b ⋅=-．反之亦然．例如：1313⨯=，3与13互为倒数.若1313-⨯=-,则3-与13互为负倒数.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； 互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.【夯实基础】【例6】 ⑴ 7的相反数（ ）A ．17B ．7C ．17-D ．7-（北京市中考题）⑵ 下列正确的是（ ）A ．一个数的相反数一定是负数B ．π和 3.14-互为相反数C ．所有的有理数都有相反数D ．13和31互为相反数 ⑶ 如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数① ()a -+；② ()a --；③ []()a -+-；④ []()a ---；⑤ (){}a -+--⎡⎤⎣⎦⑷ 3-的倒数是（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3（北京市中考题）【解析】 ⑴ D ⑵ C⑶ ① ()a a -+=-，正数；②()a a --=，负数；③ ()a a -+-=⎡⎤⎣⎦，负数；④ a -，正数；⑤ (){}=a a -+---⎡⎤⎣⎦，正数 ⑷ 选A【能力提升】8 / 14【例7】 ⑴37与 互为相反数；12a -是 的相反数． ⑵ ()2--的相反数是 ；4b +是 的相反数．⑶ (){}4--+-=⎡⎤⎣⎦⑷ (){}5--+-⎡⎤⎣⎦与 互为相反数，()a b ---与 互为相反数，()7b c +--+-⎡⎤⎣⎦与 互为相反数．【解析】 ⑴ 37-，12a ；⑵ 2-，4b --；⑶ 4-；⑷ 5，a b --，7bc -+-【例8】 ⑴若3a 与273a -互为相反数，则a = ．⑵若x 、y 都是有理数，且使得四个两两不相等的数4x +、2x 、27y -、y 能分成两 组，每组的两个数是互为相反数，则x y +的值等于 【解析】 ⑴73；⑵有两对相反数，初看没法确定4个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互为相反数的两个数的和为0，所以这4个数的和仍为0，即4+2270x x y y ++-+=，得到1x y +=【例9】 ⑴已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，现比较a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ）A ．a b a b -<-<<B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-<D ．a b b a <<-<-⑵已知,a b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数,,,a b a b --按由小到大的顺序排列是【解析】 ⑴C⑵借助数轴标出,a b 的大概位置，知b a a b <-<<-【探索创新】【例10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，……，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘．请问，数字“黑洞”T = ．【解析】 从一个具体的数操作，发现规律；例如选择数字3，进行一次运算后的结果是2733=；ab进行第二次运算后的结果是3517233=+； 进行第三次运算后的结果是153153333=++； 进行第四次运算后的结果是153351333=++； ……所以结果T =153．【例11】 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数.【解析】0630.-.设0K 点表示的有理数为x ，则1K ，2K ，…100K 点所表示的有理数分别为1-x ，21+-x ，321-+-x ，…100994321+-+-+-Λx ，由题意得： 9419100994321.x =+-+-+-Λ，解得0630.x -=.【例12】 动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A ，B 的速度比是1:4，（速度单位：单位长度/秒）① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A ，B 两点从原点出发运动3秒时 的位置．② 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？③ 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C 也同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 追上A 时，点C 立即停止运动．若点C 一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？（北京东城区期末）【解析】 ①设A 的速度为x 单位长度/秒，B 的速度为4x 单位长度/秒依题意，3(4)15x x += 1x =即：A 的速度为1单位长度/秒，B 的速度为4单位长度/秒． 3秒时，A 的位置在3-，B 的位置在12． ② 设x 秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？12431.8x xx -=+=③ 设y 秒后B 追上A ，依题意，4155y y y -==205100⨯=点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．x 036912-3-6-9-12课后创新培养【实战演练】知识模块一 有理数基本概念 课后演练【演练1】 ⑴ 一天早上的气温是7-℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，那么半夜的气温是（ ）A ．5-℃B ．5℃C ．13-℃D ．13℃（八中期中）⑵ 如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作 ． ⑶ 下列说法正确的是（ ）A ．有最小的负整数，没有最小的正整数B ．有最小的负数，没有最大的正数C ．有最大的负数，没有最小的正数D ．有最大的负整数，没有最大的正整数（十一学校期中）⑷ 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：2.4-，3，2.008，103-，114，0.15-&&，0，()2--，3.14． 正有理数数集合：{}非负整数集合：{ }负分数集合：{}【解析】 ⑴ A ；⑵ 6-吨；⑶ D ；⑷ 正有理数：3，2.008，114，()2--，3.14非负整数：3，0，()2--；负分数： 2.4-，103-，0.15-&&【演练2】 检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．这5个排球的记数分别为：1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，0.6-；4号球， 3.5-；5号球，+2.5．从轻重的角度看，最轻的球是 号球，最接近标准的球是 号球．（八中期中）【解析】 4；3.知识模块二 数轴 课后演练【演练3】 数轴上，点,A B 分别表示3-和5，则线段AB 的中点所表示的数是 【解析】 1【演练4】 有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示：则（ ）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．0a b -=D ．0a b ->【解析】 A知识模块三 相反数，倒数 课后演练【演练5】 ⑴ 6-的相反数是 ，427-的倒数是 ，4-的倒数的相反数是 ；（北京师范大学附属实验中学）⑵ a -的相反数为2，则a = ；a b -+的相反数 【解析】 ⑴ 6，718-，14；⑵2；a b -【演练6】 如图所示，若点A 是有理数a 在数轴上对应的点，则a 、a -、1的大小关系是【解析】 1a a <<-ba-1110A。