大小为：|MO (F)|= Fh =2△OAB △OAB为图中阴影部分的面积 x
i
j
k
M O (F ) r F x y z X Y Z
=(yZ－zY )i + (zX － xZ)j + (xY －yX )kz§5-1Fra bibliotek力对轴的矩
力对轴之矩是力对 绕该定轴转动的物体作 用效果的度量
门上作用一个力 F 假定门绕 z 轴旋转 将力 F 向 z 轴和 xy 面分解成两个分力 Fz 和
3、空间力系简化为力螺旋的情形
主矢R’ ≠ 0；主矩MO ≠ 0
MO O R O R , MO O MO O
且
R
M O∥ R ’
R MO
右螺旋
左螺旋
力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力 系，其中的力垂直于力偶作用面 力螺旋的力作用线称为力螺旋的中心轴 力螺旋由两个力学基本要素组成，不能进 一步合成
R ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
cos(R, i ) X / R; cos(R, j ) Y / R; cos(R, k ) Z / R
M O [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2
cos(M O , i ) M x (F ) / M O ; cos(M O , j ) M y ( F ) / M O ; cos(M O , k ) M z (F ) / M O
当主矩MO与主矢R’即不平行也不正交时
R’ R’
α
R’ M ’O M”O M ’O
MO
O
O
O d
M”O = MO sinα ；M’O = MO cosα M’O和R’组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为： M O sin MO d R R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M
§5 - 2
F2
空间力系向一点简化
F1
M1
F2
O
, ,
F1 ,
Mo O
R,
F3
MF 2 3
O M3
O : 简化中心
R = F1 + F2 + F3 ;
M o = M1 + M2 + M3 ;
R
——
F
i 1
n
i
MO
——
M
i 1
n
O
( Fi )
力系的主矢
力系对简化中心主矩
结论
空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力 偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用 线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对 简化中心的主矩。 主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置 有关。
z
( F ) = M
y
(BC) = - Fl cosα
M
z
( F ) = M
z
( Fx ) = -F
x
(AB+CD) = -F ( l + a )sinα
解法2
直接套用力对轴 之矩的解析表达式： 力在 x、y、z轴 的投影为 X = F sin α Y = 0 Z = - F cos α
z
A Fx x B
F Fz Fxy
Fxy。
分力 Fxy 使门绕 z 轴 旋转。
y x
力对轴的矩之定义
力对轴的矩是一个代 数量，其绝对值等于该力在 垂直于该轴的平面上的投影 对于此平面与该轴的交点的 矩的大小。顶着坐标轴看力 使物体绕轴逆时针旋转为正。 正负可以按右手法则确定 即 ① ②
z
F
Fz Fxy
B h
O
F A xy
可得 [ M [ M [ M
O O
O
( F ) ] ( F ) ] ( F ) ]
x y
z
= = =
M M M
x y
( F ( F
) )
z
( F )
结论： 力对点的矩 矢在通过该 点的某轴上 的投影，等 于力对该轴 的矩。
力对点O的矩的大小为
M O ( F ) [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2
力对点O的矩的方向余弦为
M x (F ) cos M O (F )
cos
M y (F ) MO (F )
M z (F ) cos MO (F )
5-1 图中力F的大小为10kN，求的力 F 在 x、 y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对 O点的矩。(长度单位为m) 解： z 1、先求F的三个方向余弦
cos(i , M O (F )) Mx 0.82 M O (F )
2
2
2
cos( j, MO (F ))
My MO (F )
0.51
Mz cos(k , M O ( F )) 0.25 MO (F )
手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用 例 5-2 一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α ，若 CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F 对x、y和z三轴的矩。
空间力系的简化结果分析
1、空间力系简化为一个合力偶
主矢R’ = 0；主矩MO≠ 0 主矩与简化中心无关。
2、空间力系简化为一个合力
① 主矢R’ ≠ 0；主矩MO = 0 ② 主矢R’ ≠ 0；主矩MO ≠ 0 且 MO⊥ R’
MO
O
取
R
d= |MO| / R
O d
R”
R R
O
R
MO
O
合力矩定理
R
空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影 的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴 的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、 5力矩和 6 力矩式。
几种特殊情形平衡规律
[Ⅰ] 汇交力系 有三个平衡方程：
∑X = 0，∑Y= 0，∑Z = 0
[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用线平行 z 轴） ∵ ∑X≡0，∑Y≡0 ，∑Mz ≡ 0 ∴ 平行力系有三个平衡方程：
O
= 0
§5 - 3 空间任意力系的平衡方程
由： R ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2 0
M O [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z ( F )]2 0
X 0; Y 0; Z 0 得： M x ( F ) 0; M y ( F ) 0; M z ( F ) 0
,
R”
O d
R R
,
O
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R ∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即 MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F) ∴得关系式 MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于 各分力对同一点的矩的矢量和。 将上式向任意轴投影（如 z 轴）得： Mz ( R ) = ∑M z( F )
∑Z = 0，∑M
x
= 0 ，∑M
y
= 0
[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面为Oxy面） ∵ ∑Z≡0 ，∑Mx ≡ 0 ，∑My ≡ 0 ∴平面一般力系有三个平衡方程：
∑X = 0，∑Y= 0，∑M
z
= 0
例 5-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰
链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。
力对轴的矩等于零的情形：
M z( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy h = ± 2△OAB
力与轴相交( h = 0 ) 力与轴平行( Fxy = 0
一句话: 只要力与轴共面, 力对轴的矩等于零。
力对轴的矩之解析表达式
设空间中有一个力 F 力作用点 A的坐标为（x，y，z ）
z
Z
F
M z (F ) xY yX 4 (5 2 ) 9 (4 2 ) 16 2 (kN m)
4、求力F对O点的矩
由 M O (F ) = M
x
i + M
y
j + M
z
k 得：
MO (F ) 52 2i 32 2 j 16 2k
即
M O (F ) M x M y M z 89.26(kN m)
z
解：受力分析如图
E
60°
ZA XA D x A
30°
YA B
W T C XB
ZB
y
a
b
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30º sin30 º = 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 º cos30 º = 0
z E ZA XA A 30 ° a 60 ° YA B W T C XB b y ZB
1、回顾力在直角坐标轴上的投影
X = F cosα
z Z
F
γ β
Y = F cosβ Z = F cosγ
z Z
γ
α
Y y
X
x
F
Y
X
x
φ
y
X = F sinγ cosφ Y = F sinγ sinφ Z = F cosγ
2.
回顾力对点的矩
n z r A O h y B F MO(F)
力F 对点O的矩矢为定位矢量
力对点的矩和力对轴的矩的关系
• 力对点的矩矢量可以写成：
M O( F ) = [M O ( F )]x i + [M O ( F )]y j + [M O ( F )]z k = ( yZ － zY )i + ( zX － xZ )j + ( xY － yX )k