x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4
x1 + x23x3 = 1
x1+2x2 x3 = 3
x2+2x3 = 2 1 轻
x22x3 = 2
装 上
x1+2x2 x3 = 3
阵
x2+2x3 = 2
0= 0
2 3 4 4 1 2 1 3 2 2 6 2 1/2
1 2 1 3 2 (1) 2 3 4 4 1 1 3 1
4 4
3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
1 2 2 1 1
例2
设A22
4 4
8 2
0 3
,b32
3 6 0 6 4
求 A 及 矩 B 矩 阵 (A b ) 的 阵 . 秩
解 分析：设 B的行阶梯 B ~(A ~ 形 ,b ~),矩阵
则A ~就是 A的行阶梯形矩阵， 故 B ~ 从 (A ~ ,b ~ )中可 R (同 A )及 R (时 B ). 看
（1）交换方程次序； （ i与 j相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B(Ab) 41
1 6
2 2
1 2
等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初 等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化
简它的增广矩阵。
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一、消元法解线性方程组
2x1 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 x3 = 3
2x1 + 2x2 6x3 = 2
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2
1 0 5 1 0 1 2 2 00 0 0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c
注意因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算．解方程组可用矩阵来算
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2 r1 1 2 2 1 1 r3 2 r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r43r2 0 0 0 0 1
1 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 2 2
1 2 1 3 0 1 2 2 00 0 0
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0= 0
其中c为任意实数.
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c
1 2 1 3 0 1 2 2 (2) 00 0 0
1 线性方程组的消元法
§1 线性方程组的消元法
定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它 同解的线性方程组。
线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程 组的系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做增广 矩阵。
设线性方程组
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系数矩阵是
增广矩阵是对一个ຫໍສະໝຸດ 程组实行消元法求解,即对方程组实行了初
1 2 2 1 1
r3 5 0 0 2 1 0
r4 r3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R ( A ) 2 ,R ( B ) 3 . 此方程组无解
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