消元法解线性方程组学校：青海师范大学院系：数学系专业：数学与应用数学班级：10B指导教师：邓红梅学号：20101611218姓名：梅增旺摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。

本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。

消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。

关键字：线性方程组消元法求解Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and theunknown element number and the number of equations canbe hundreds, so itis important in the theory, its applicationis very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone hasa contact, the basic idea ofelimination method is throughthe elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations.Keywords:elimination method for solving linear equations正文：我们主要探讨一下在复数域上用高斯（C.F.Gauss,1775--1855）消元法解线性方程组（以下我们统称线性方程组）。

先梳理一下基本知识：1. 一般地，含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （1）称为一个n 元线性方程组。

其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。

2．利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。

因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。

线性方程组（1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21称A 为方程组（1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵，将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mnm m n n b b b a a a a a a a a a 21212222111211 称为方程组（1）的增广矩阵。

3.矩阵的初等变换：(1)交换矩阵的两行（列）；(2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；(3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。

4.阶梯形矩阵，它的特点是：（1）自上而下的各行中，第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加；（2）矩阵的零行（如果有的话）都在矩阵的下面。

5.定理 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D 是同解方程组。

下面给出线性方程组的解法：用初等行变换将方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵（最简形），再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。

因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组的解。

这种方法被称为高斯消元法，具体步骤：（1）写出线性方程组的增广矩阵。

（2）用行的初等变换将增广矩阵化为行最简形（阶梯形）。

在化的过程中，如果出现第一类情况，则原方程无解。

不然的话，必然得到一个行最简形矩阵。

(a).如果它属于第二类，则原方程组有唯一解。

(b).如果它属于第三类，则原方程组有无穷多解，选好自由变量，然后用一般解形式表示原方程组的全部解。

注：第一类：有某一行，它的最右边的一个元不为零，该行的其余元都为零，以这个矩阵为增广矩阵的线性方程组中，该行的方程不能成为等式，所以方程组无解。

见下例（1）.第二类：不属于第一类，并且非零行的个数等于未知量的个数，这时方程组有唯一解。

见下例（2）<1> <2> <3>.第三类：如果不属于第一类，并且非零行的个数小于未知量的个数，这时取自由变量，得方程组有无穷多解。

见下例（3）。

下面举例具体说明例（1）：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-=--+8222635363432143214321x x x x x x x x x x x x解：写出增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡82-21263-51-361-1-31第一行乘以（-3）加到第二行；第一行乘以（-2）加到第三行，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4-045-012-0810-061-1-31 第二行乘以21减到第三行，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2000012-0810-061-1-31 从最后一个矩阵可得对应的阶梯形线性方程组为:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=--+201281063224321x x x x x x 由此知属于第一类，因此这个线性方程组无解。

（2）这类方程组很常见，我们用一般消去法逐一说明。

高斯消去法的使用类似第一三类，读者可自行参阅得到。

下面我们分几种情况来讨论。

<1>m=n=1这种情况非常简单，不采用消元法，具体采用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1几个步骤即可得到方程的解。

即：凡是一元一次方程都可划成形如：ax+b=0，或ax=-b,则得解x=-ab . 例如：求解方程31313321x -+=--+x x 。

按上面法则得到3（x+1）-18-2x=6+2x-23x+3-18-2x=6+2x-23x-2x-2x=6-2-3+18-x=19x=-19<2>m=n=2这种情况有两种方法来消元。

1. 代入消元：由方程组的一个方程求出一个未知数对其他未知数的表达式，而把这个表达式带入其他方程，所获得的方程组与原方程组同解。

设有一组一元一次方程，把每个方程的未知项移到方程左边，已知项移到方程右边，合并同类项以后得到如下形式的方程：⎩⎨⎧=+=+'''ax c by ax cby (1) 假设四个系数a,b,a ’,b ’中有一个不为0，例如a 不为0，由第一个方程求出x 对y 的表达式，获得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=--'''0x c y b x a a by c （2）， 与(1)同解。

这时，把由第一个方程得到的x 的表达式代入第二个方程，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--='''x c by a by c a a by c （3）也与（1）同解，此时，只需求'''c by aby c a =+-这个只含未知数y 的一元一次方程，然后将解得的y 的值代入aby c x -=就可得到x 的值，即解得了未知数x 、y 。

同理，我们也可由x 写出y 的表达式进行代入求解。

注：实际解题中我们选取表达式较为简单的量代入。

例：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+--=+321313y 1-x 2x y x x 由第一个方程求出32y x -=，代入第二个方程，即求出710y -=，再将y 的值代入第一个方程得78=x ，即方程的解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==71078y x 2. 加减消元法设k 是一个不等于0的数，h 是一个任意的数，两个方程A=0，B=0 (1)的方程组与下面的方程组同解hA+kB=0，A=0 (2)凡是（1）组的解，即使A 和B 等于零，显然使hA 和kB 也等于零，因而满足方程（2）。

反之，凡是（2）的解，即使A 和hA+kB 等于零，即使kB 等于零，但k 不等于零，故B 等于零，因而满足方程组（1）。

还是以方程组⎩⎨⎧=+=+'''ax c by ax cby (1) 为对象。

只要b 不为0，原方程与下面的方程同解⎩⎨⎧=-+--+=-+0)'''()('0ax c y b x a b c by ax b c by （2） 但方程组（2）的第二个方程不再含有y ，并且可以写成()0)''('ab'=---bc cb x ba 。

如果ab ’-ba ’不等于零，我们便能求出x 的一个而且唯一的值。

把这个 值代入方程组（2）的第一个方程，就求出y 的一个而且唯一的值，这样就得到方程唯一的一组解''''ba ab bc cb x --=，''''ba ab ca ac y --= 我们也可以这样替代方程组（1）的同解方程组（a ≠0）,直接求出y 的值：⎩⎨⎧=-++-+-=++0)'''()('0ax c y b x a a c by ax a c by 此方程组的第二个方程不再含有x 且可以写成0)''('ab'=---ca ac y ba ）（由此可以解出y 同上的解，同理可解得方程组同上的解。

注：一般解题中先观察两个方程，对应系数有倍数关系多采用加减消元法。

例：解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+--=+321313y 1-x 2x y x x 首先，对方程进行移项，含未知数的项移到左边，已知项移到右边，然后去分母，得 ⎩⎨⎧=-=+4223y x y x 其次，第一个方程乘以2，然后分边对应相加，消去y ，得87=x从而 78x = 将x 代入任意一个方程解得710y -= 我们也可以消去x,解出y 代入任意一个方程解得x.注：也可以由克拉默(Gramer)公式获得。