解线性方程组的消元法及其应用
（朱立平 曲小刚）
● 教学目标与要求
通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.
● 教学重点与难点
教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.
● 教学方法与建议
先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。

● 教学过程设计
1.问题的提出
由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.
引例 解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+=++132724524321
21321x x x x x x x x )3()2()1(
解 （1）−−−→−↔)2()1(⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+13245247
232132121x x x x x x x x )3()2()1(−−−−→−+-⨯+-⨯)
3()2()1()2()4()1(⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+=+133524567232
3221x x x x x x )3()2()1(
−−−−→−+-⨯)3()65
()2(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=+=+76
724567233221x x x x x )3()2()1(
用回代的方法求出解即可.
问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.
2.矩阵的初等变换
定义1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.
定义2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：
i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作j i r r ↔）， ii. 用数0≠k 乘矩阵的某行的所有元素（例如第i 行乘k ，记作i kr ），
iii.
把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作j i kr r +）.
同理可以定义矩阵的初等列变换.
定义 3 如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作
A ~
B .
注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵.
3. 高斯消元法
对于一般的n 阶线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
22221211
1212111 )()2()1(n （3.1） 若系数行列式0det ≠A ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下：
第一步，设方程（1）中1x 的系数01≠l a 将方程)(l 与（1）对调，使对调后的第一个方程1x 的系数不为零.作)1(11
1
a a i i -
),3,2(n i Λ=，得到同解方程组 ⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=++=++=+++)1()1(2)1(2)
1(2
)1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2）
第二步，设0)
1(22≠a ，保留第二个方程，消去它以下方程中的含2x 的项，得
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=++++)
3()3(3)3(3)
2(3
)2(33)2(33)
1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11n n nn n n n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.3） 照此消元，直至第1-n 步得到三角形方程组
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==++=+++=++++--)
1()1()
2(3
)2(33)2(33)
1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11n n n n nn n n n n n n b x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.4） 接下来的回代过程首先由（3.4）的最后方程求出n x ，依次向上代入求出121,,x x x n n Λ--即可.
高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是
=),(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n nn
n n n
n b a a a b a a a
b a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
222221
1112
11→
---1
113131
112121
11
1r a a r r a a
r r a a r n n Λ
ΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛)1()1()1(2
)1(2
)1(2)1(22
)0(1)0(1)0(12)0(11
n nn
n n
n b a a b a
a
b
a
a
a Λ
ΛΛΛΛΛΛ→
-
--2
)1(22
)1(4242)1(22)1(3232
)1(22
)1(2r a a r r a a r r a a r n n Λ
ΛΛΛ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛)2()2()2(3
)2(3)2(3)2(33)1(2)1(2)1(23)1(22
)0(1)0(1)0(13)0(12)0(11n nn
n n n n b a a b a a b a a a b a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ→→Λ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--)1()1()2(3)2(3)2(33)
1(2)1(2)1(23)1(22
)0(1)0(1)
0(13)
0(12)0(11n n n nn
n n n b a b a a b a a a b a a a a ΛΛO
Λ
ΛΛ
注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换(某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数k 加到另一个方程，对换两个方程的位置)，将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵.因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知元也要对换.
4. 应用
（1）化矩阵为阶梯形
例1 试用消元法化A 为阶梯形矩阵，
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----=43333320126624
220
121A
解
→
-+-13121
4224r r r r r r A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----236
90122302600020121→↔3
2r r ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-----236902600
01223
020
12
1→-2
43r r
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----13
00
02600012230201
21→+3421r r ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛----0000026
0001223
020121=B
则B 即为所求的与A 等价的阶梯形矩阵. （2）求逆矩阵
利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步： a) 将矩阵A 与同阶的单位方阵I 拼成),(I A ；
b) 对A 施行初等行变换，目标是将A 变换成I ；
c) 当A 变换为时，原来的I 变换成1
-A ，即),(),(1-→A I I A .
注：若将I A ,拼成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I A ，只能施行初等列变换，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛I A →⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1A I . 例2 求矩阵A 的逆矩阵
=A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---12120111
1. 解 ),(I A =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---100121010201
00111
1→++1
213r r r r ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---10121001111000111
1→-+123)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----112100011110001111→+++323121r r r r r r ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛112100123010234001
所以=-1
A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛112123234.。