Alternately, in a procurement auction, the winner is the bidder who submits the lowest bid, and is paid an amount equal to the next lowest submitted bid.
2、占优战略均衡定义：在博弈的战略 式表述中，如果对于任意参与人i，
s 是占优策略，那么策略组合
* i
s ( s, , s)
* * 1 * n
被称为占优战略均衡(Dominant-
strategy equilibrium)。
（四）重复剔除的战略均衡

“重复剔除严格劣战略”(Iterated elimination of strictly dominated strategies) 思路就是排 除法。
（二）纳什均衡定义： 在博弈G={S1,…，Sn；u1，…，un}中，如果
* * * * 策略组合 s 中任一参与人i ( s , , s , , s ) 1 i n
* s 的策略 i 是对其他参与人策略组合
* * * * * s ( s , , s , s , , s ) 的最优策略，即 i 1 i 1i 1 n
成立时，策略组合s*才是一个强纳什均衡 (Strict or strong Nash equilibrium)。
（三）占优战略均衡
1、 “占优战略”(Dominant strategy) 是指参与人在一些特殊的博弈中不受其 它参与人的策略选择影响的最优策略。 也就是说，不论其它参与人选择什么策 略，他的最优策略都是唯一的、不变的。
智猪博弈 小猪
按 按 等待
大 猪 等
待
3 ，1 7，-1
2，4 0，0
参与人B L M R
参 与 人 A U D 1， 1， 0， 0 2 1 0， 0， 2， 3 1 0
C1
参 与 人 A R1 R2 R3
参与人B C2 C3
2，12 1，10 1，12 0，12 0，10 0，11 0，12 0，10 0，13
R3→C3→C2→R2 (R1, C1) C2→R2→C1→R3 (R1, C3)
参与人B L R 参 与 人 A
U D
8， 10 10 00， 9 7， 6， 6 5
（五）重复剔除劣策略的 占优战略均衡的应用

第二高价拍卖 (Second Price Auction)
An auction in which the bidder who submitted the highest bid is awarded the object being sold and pays a price equal to the second highest amount bid.
S1，…，Sn——参与人的策略空间，所谓策略空间是 指每个参与人的全部可选策略的集合；
sij∈Si——参与人i的第j个策略，其中j可取有限个值 （有限策略博弈），也可以取无限个值（无限策略 博弈）。
ui——参与人i的得益或效用，它是各参与人策略的多 元函数。
n人博弈可以写成G={S1,…，Sn；u1，…，un}
Reference books:
张维迎，博弈论与信息经济学，
Drew Fudenberg and Jean Tirole, Game Theory,
the MIT Press,1991. Eric Rasmusen, Games & Information—an Introduction to Game Theory, Third Edition, Blackwell Publishers Inc., 2001. Roger B. Myerson, Game Theory—Analysis of Conflict, Harvard University Press, 1991.
Characteristics of Different Types of Auctions
Type Rules
English, or ascending-price. Open.
Seller announces reserve price or some low opening bid. Bidding increases progressively until demand falls. Winning bidder pays highest valuation. Bidder may re-assess evaluation during auction. Seller announces very high opening bid. Bid is lowered progressively until demand rises to match supply. Bids submitted in written form with no knowledge of bids of others. Winner pays the exact amount he bids.
3、注意：
如果每次剔除的是严格劣策略，均衡结果与
剔除的顺序无关。 如果剔除的是弱劣策略，则均衡结果可能与 剔除顺序有关。 重复剔除的占优战略均衡不仅要求每个参与 人是理性的，而且要求“理性”是参与人的 共同知识。即所有参与人都知道所有参与人 是理性的，所有参与人都知道所有参与人…。 当支付取某些极端值时，重复剔除的占优均 衡不一定是一个合理的预测结果。
** * u ( s , s ) u ( s , s ), s S , i i i i i ij i ij i
* * * * 则称 s 为博弈G的一个“纳 ( s , , s , s ) 1 i, n
什均衡”。
纳什均衡是所有参与人最优策略的组合。 在给定别人策略的情况下，没有任何单个参与人 有积极性选择其它策略，从而没有任何人有积极性 打破这种均衡。
李四
A
B
C
甲
张 三
2, 2
1, 3
3, 1
2, 2
0, 2
3, 2
乙
丙
2, 0
2, 3
2, 2
最后归宿的博弈
纳什均衡有强弱之分( Harsanyi,1973)
当且仅当对于所有的参与人i，s
' i
s
* i
不
等式
u ( s , s ) u ( s , s ), s i
* i i i ' i i i
称
s
' i
弱劣于策略
s
'' i
，
s
'' i
称为相对于 s i'
的弱占优策略。
2、重复剔除的占优均衡
如果策略组合 s ( s, , s)是重复剔除劣
* * 1 * n
策略后剩下的唯一的策略组合，那么，策略
* * * s ( s , , s ) 被称为重复剔除的占优 组合 1 n
战略均衡。
第二章 完全信息静态博弈
Static Games of Complete Information
@ 2009 Zheng Daowen, All Rights Reserved
什么是完全信息静态博弈？
“完全信息”是指每个参与人对其它参与 人的特征（包括战略空间、支付函数等） 有完全的了解或者说了如指掌。 “静态”是指所有参与人同时选择行动， 且只选择一次。即使不是同时选择行动， 只要每个参与人在选择行动时不知道其 它参与人的选择，在知道后不改变自己 的选择，参与人的行动也可以被看作是 同时行动。
第二节 无限策略博弈的解和反应函数 第三节 混合策略
第四节 纳什均衡的存在性
第一节 纳什均衡 Nash Equilibrium
一、求解博弈的方法
1、划线法就是在每一个参与人针对竞争对手 每一策略的最大可能收益（或效用）下划线 以求得博弈解的方法。
2、箭头法就是通过反映参与人选择倾向的箭 头寻找稳定性策略组合的方法。
si ∈[0,+∞).
The highest bidder wins the object and pays the second bid, that is si max sj
ji
Bidder i has utility
u sj max i i
j i
The other bidders pay nothing, and therefore have utility 0. For player i the strategy of bidding his valuation (si=υi) weekly dominates all other strategies
“完全信息静态博弈”是每个参与人 都知道其它参与人特征的情况下， “同时”选择策略或采取行动的 博弈。
博弈分析的目的→预测博弈的均衡结果
给定每个参与人都是理性的(Rational)，
每个参与人都知道所有参与人都是理性
的情况下，什么是参与人的最优策略？ 什么是参与人的最优策略组合？
第一节
纳什均衡
左 上 甲 方 下 1，0
乙方 中 1，3
右
0，1
0，4
0，2
2，0
参与人B
L C 4，0 0，4 3，5 R 5，3 5，3 6，6
参 与 人 A
U M D
0，4 4，0 3，5
Hale Waihona Puke 左 上 1，0乙 方 中
1，3
右 0，1
甲 方
下 0，4 0，2 2，0
二、纳什均衡
（一）博弈的标记法
常用G表示一个博弈；n——博弈参与人的数量；