0
由更新定理得： 1 ∞ lim ������������ (������) = lim ������(������(������) > ������) = ∫ [1 − F(t + y)]������������ t→∞ t→∞ ������ 0 1 ∞ = ∫ [1 − F(x)]������������ ������ ������ 同样可求得年龄������(������)的分布，注意到 {Y(t) > x, A(t) > y} ≡ {Y(t − y) > x + y} 所以
t→∞
lim ������{������(������) > ������, ������(������) > ������} = lim ������{������(������ − ������) > ������ + ������}
t→∞
1 ∞ = ∫ [1 − F(z)]������������ = lim ������{������(������) > ������} t→∞ ������ ������+������ 1 ∞ = lim ������{������(������) > 0, ������(������) > ������} = ∫ [1 − F(z)]������������ t→∞ ������ 0+������ 1 ∞ = ∫ [1 − F(z)]������������ ������ ������
太原工业学院
应用随机过程课程论文
题 目： 剩余寿命与年龄的极限分布
姓 学 系 专 届
名 号 别： 业： 别：
理学系 数学与应用数学 2012 届 连高社
指导教师：
二〇一五年六月
剩余寿命与年龄的极限分布
以������(������) = ������������(������) − ������ 表示时刻 t 的剩余寿命，即从 t 开始到下次 更新的时间，用������(������) = ������ − ������������(������) 表示 t 时刻的年龄，即 ������(������) = ������������(������) − ������ ������(������) = ������ − ������������(������) ---------剩余寿命 ---------年龄

可见年龄的极限分布与寿命的极限分布相同，事实上，当过程的 时间持续很长时，倒过来观察此过程，则原过程的年龄即为倒过来观 察的过程的寿命。
3
1
由全概率公式有 ������������ (������) = ������(������(������) > ������)=∫ P{Y(t) > y|������1 = ������} ������������(������) 0 这是一个更新方程，它的解为
∞ ∞
������������ (������) = 1 − F(t + y) + ∫ [1 − F(t + y − x)]������������(������)
求������(������)和������(������)的极限分布。
解：令 ������������ = ������{������(������) > ������} 对第一次更新的时刻������1 取条件，得 1, ������ > ������ + ������ P{Y(t) > y|������1 = ������} { 0, ������ < ������ ≤ ������ + ������ ������������ (������ − ������), 0 < ������ ≤ ������