则 X (t) ,t (,) t在 处均方可微的充要条件是
其相关函数R(s,t) 在(t,t) 处广义二次可微。
证
由均方收敛准则知 l.i.m X (t h) X (t)
h0
h
存在
的充要条件是
lim
h0 k 0
E

X
(t

h) h

X
(t
) X
而
(t

k) k

X
(t
)

存在
R(t h,t k) R(t h,t) R(t,t k) R(t,t) hk
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当 h 0, k 0 时 正是 R(s,t) 在(t,t) 处广义二次可微。
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三、均方导数的性质
性质1 设 X (t) 和Y (t) 均方可微，a，b 为常数，
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性质2
若 l.i.m X n X l.i.m Yn Y
则
lim
n
E[
X
nYm
]

E(
XY)
E(l.i.m
X n l.i.m Yn )
m
证 由许瓦兹不等式得
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| E( X nYm ) E( XY ) || E( X nYm XY ) |
| E[ X (Ym Y ) ( X n X )Y ( X n X )(Ym Y )] |
dt
dt
dt
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性质3
设X (t)在t处均方可微，则 X (t)在t处均方连续。
性质4 设 X (t) 均方可微，R(s,t) 为其相关函数，则
R(s,t) E[X (s)X (t)] s R(s,t) E[ X (s) X (t)] t
2 R(s,t) 2 R(s,t) E[ X (s) X (t)]

0
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二次均方可微 若{ X (t) , t (,) }在 t 处均方可微，
则称 X (t) 在 t 处二次均方可微
二阶均方导数 X (t) 的均方导数记为X (t)
定义2 广义二次可微
设 R(s,t) 为随机过程{ X (t) ,t T }的相关函数，
若它在(s,t) 点当h, k 0 时，极限
则称为二阶矩过程。
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例1 设 X (t) X 0 Vt ，a t b ，
其中 X 0和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1） 的随机变量，试判断 X (t) 为二阶矩过程。
解 由正于态分X布0和，V且都服从正态分布，所以 X (t)也具有
mX (t) E[X (t)] E[X0 Vt] E[X0] tE[V ] 0
st
ts
证1
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E[X (s)X (t)] E l.i.m X (s h) X (s) X (t)
h0
h
lim E X (s h) X (s) X (t)
则 aX (t) bY(t) 也均方可微，且
d [ aX (t) bY(t) ] a dX (t) b dY(t)
dt
dt
dt
性质2 设 X (t) 为均方可微， f (t) 为一个普通可微函数，
则 f (t) X (t) 也均方可微，且
d [ f (t) X (t) ] df (t) X (t) f (t) dX (t)
三、均方收敛性质
性质1 证
若l.i.m Xn X 则
lim
n
E[X n
]

E(X
)

E(l.i.m
Xn
)
由许瓦兹不等式得
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| E(X n ) E(X ) |2 | E(X n X ) |2 E | X n X |2
因
lim[E(
n
X
n

X
)2
]

0
故得证
注 当 X n均方收敛于X时，X n的期望收敛于X的期望
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定理3 若二阶矩过程{ X (t) ,t T }是均方连续的，
则
lim E[X (t h)] E[X (t)]
h0
证 由均方连续定义
lim E[(X (t h) X (t))2 ] 0
h0
从而 lim E[X (t h)] E（l.i.mX (t h)） E[X (t)]
C(t1,t2) E[X (t1)X (t2)] E[( X0 Vt1)( X0 Vt2 )]
E[X02] t1t2E[V 2] 1 t1t2
令t1 t2 t ，得 DX (t) 1 t 2
故 X (t) 为二阶矩过程。
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二、性质
二阶矩过程的协方差函数一定存在
R( h, k) E（X ( h)(X ( k)）
由均方收敛性质2得
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lim R( h, k) E（X ( )X ( )） R( , )
h0 k 0
即 R(s,t) 在(, ) 连续。
定理2 如果 R(s,t) 在{ (t,t) ， t (,) }处连续，
证 C(t1,t2 ) cov[ X (t1), X (t2 )] E{[ X (t1) m(t1)][ X (t2 ) m(t2 )]}
由许瓦兹不等式得
| C(t1,t2 ) |2 | E{[ X (t1) m(t1)][ X (t2) m(t2)]}|2
E{[ X (t1) m(t1)]2}E{[ X (t2 ) m(t2 )]2}
h0
h0
说明
在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次 序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的 极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。
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第四节 均方导数
一、均方导数的定义
定义1 设随机变量{ X (t) ，t (,) }为二阶矩过程
对于确定的t (,) ， 如果均方极限
m

X
)2
]

0
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又由
( X n X m )2 [( X n X ) ( X m X )]2
2( X n X )2 2( X m X )2
所以 当 n ， m 时，得
0

lim
n
E[(X n

X m )2 ]
m

2{lim n
l.i.m X (t h) X (t) 存在
h0
h
则称X (t)在t处均方可微， 并将此极限记作X (t)
称为 X (t) 在 t 处的均方导数
即有 X (t) l.i.m X (t h) X (t)
h0
h
或
lim
h 0
E

X
(t

h) h

X
(t)

2
X (t)
l.i.mX (t h) X (t) h0
再由均方收敛性质2，得
lim R(s h,t k) lim E[X (s h)X (t k)]
h0
h0
k 0
k 0
E[X (s)X (t)] R(s,t)
即 R(s,t) 在{(s,t) ，s,t (,) }处连续。
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第二章 随机分析
第一节 二阶矩过程 第二节 均方极限 第三节 均方连续 第四节 均方导数 第五节 均方积分
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第一节 二阶矩过程
一、定义
若随机过程{ X (t) ,t T }，对任意t T ，有 m(t) E[ X (t)]
D(t) E[( X (t) m(t))2 ]
| E[ X (Ym Y )] | | E[( X n X )Y ] | | E[( X n X )(Ym Y )] |
1
1
{E( X
2 )E(Ym
Y )2 ]}2
{E[( 1
X
n

X
)2 ]E(Y )}2
{E[( X n X )2 ]E[(Ym Y )2 ]}2
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第二节 均方极限
一、均方收敛
定义1
设量随X都机存变在量二序阶列矩{ ，X如n果，n = 1,2,…}和随机变
lim
n
E[(X
n

X
)2
]

0
则称{ X n }均方收敛于X， 或称X是{ X n }的均方极限
记作
l n
.i
. mX
n

X
或简记为 l.i.m X n X
D[ X (t1)] D[ X (t2 )]
故 | C(t1, t2 ) |2
即二阶矩过程X (t) 的协方差函数存在
注 二阶矩过程的相关函数R(t1,t2 ) 也一定存在。
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说明
在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零， 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。
返回
2a2E[( X n X )2 ] 2b2E[(Yn Y )2 ] n 0
故得证
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性质4 均方极限的唯一性
若 l.i.m Xn X
l.i.m Xn Y
则 X Y
注 若 P(X Y ) 1 ，则称 X 与 Y 相等