3、设 阶方阵 ，满足 ，且 ，证明 。（证明略）
4、设 阶方阵 满足 ，证明： 的特征值只能是 或者 。（证明略）
解：
（1） 的
对于 得 已正交 单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
（2） 为正定二次型
26、设
（1）求一正交变换化 为标准形
（2）判定 的正定性
解：
（1） 的矩阵
对于 得 已正交 单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
（2） 不正定
27、设
（1）求一正交矩阵 ，使得 为对角形。
19、设 为 阶可逆矩阵，则 （ ）。
20、设 阶方阵 的秩为 ，则 （ ）。
21、行列式 （4）。
22、设矩阵 的线性无关的特征向量为（2）。
23、设 阶方阵 的行列式 ， 的两个二重特征值 ，则 的第三个特征值 （-3）。
24、行列式 （-360）。
25、行列式 （-4）。
三、解答下列各题
1、设 ，求矩阵 ，使得 。
当 或 时 线性相关
14、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
15、求解线性方程组 的基础解系及通解。
解：
方程组有唯一解
为所求
16、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组为
基础解系为 ，
通解为 其中
17、求解线性方程组 。
解：
有唯一解 为所求
解：由 ，
可逆
2、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
3、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
4、设 ，求矩阵B，使得AB-2A=2B。
解：由 ， 可逆
5、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
6、问 取何值时，向量组 ， ， 线性相关，又为何值时线性无关。
解：令
当 或 时 线性相关
当 且 时 线性无关
解：
令
向量组的秩 极大无关组为
11、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
12、问 取何值时，向量组 ， ， 线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当 且 时 线性无关；
当 或 时 线性相关。
13、问 取何值时，向量组 ， ， 线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当 且 时 线性无关
解： 的矩阵
对于 得 已正交单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
30、问 取何值时，向量组 ， ， 线性相关，又为何值时线性无关。
解：令
当 或 时 线性相关；
当 且 时 线性无关。
四、证明题
1、设 阶方阵 ，满足 ，证明 可逆，并求 。
（证明略）
2、设 矩阵 且 ，证明 。（证明略）
7、问 取何值时，向量组 ， ， 线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当 且 时 线性无关
当 或 时 线性相关
8、问 取何值时，向量组 ， ， 线性相关，又为何值时线性无关。
解：
令
当 或 时 线性相关
当 且 时 线性无关
9、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
10、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
当 时 有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
24、设
（1）求一正交变换化 为标准形
（2）判定 的正定性
解：
（1） 的矩阵
对于 得 已正交，单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
（2） 不正定
25、设
（1）求一正交变换化 为标准形；
（2）判定 的正定性。
线性代数复习题
（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）
一、单项选择题
1、设 阶方阵 的 个特征值为 ，则 的 个特征值为（ D）。
A. B. C. D.
2、设 为3阶方阵且 ，则 （ C）。
A、 B、 C、 D、
3、设 ，则 果 则基础解系含有（ D）个向量。
A.5B.4C.3D.2
5、设 阶方阵 的 个特征值为 ，则 的3个特征值为（A）。
A. B. C. D.
6、设 ，则 （C）。
7、设 的秩为 ，则 （ D ）。
A. 且 B. 或 C. D.
8、设 是非齐次线性方程组 的解向量，则（C）是非齐次 的解向量。
二、填空题
1、行列式 （ ）。
2、行列式 （ ）。
18、求非齐次线性方程组 的全部解（用特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
19、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
20、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
3、设 ， ，则 （ ），
（ ）。
4、行列式 （24）。
5、设 是非齐次线性方程组 的两个解向量，则
（ ）。
6、设 阶方阵 的秩为 ，则 （-4）。
7、设 阶方阵 的行列式 ，则 （ ）。
8、行列式 （ ）。
9、行列式 （1）。
10、若行列式 ，则 （ ）。
11、设 阶方阵 的秩为 ，则 （ 且 ）。
（2）写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：
（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
不正定
28、设 求一正交矩阵 ，使得 为对角形。
写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
正定从而 正定
29、设 ，求一正交变换化 为标准形。
12、设 是齐次线性方程组 的两个解向量，则 （0）。
13、设 阶方阵 的行列式 ， 的两个二重特征值 ，则 的第三个特征值 （-3）。
14、设 是齐次线性方程组 的两个解向量，则 （0）。
15、行列式 （4）。
16、行列式 （-180）。
17、设 是非齐次线性方程组 的两个解向量，
则 （ ）。
18、设 阶方阵 的行列式 ，则 （ ）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
基础解系为 ，
通解为 其中
21、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
22、求解线性方程组 。
解：
方程组有唯一解
为所求
23、问 取何值时线性方程组 有解？有解时，求出全部解（特解及导出组的基础解系表示）。