2020年九年级中考数学二模试卷(满分120分；时间100分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.一元二次方程x 2－x －2＝0的解是()A.x 1＝2，x 2＝1B.x 1＝－2，x 2＝1C.x 1＝2，x 2＝－1D.x 1＝－2，x 2＝－12.观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是()3.如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将△A ′B ′C ′绕点A ′逆时针旋转一定角度后，点B ′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为()A.4,30°B.2,60°C.1,30°D.3,60°4.让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于()A.316B.38C.58D.13165.若A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (1，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x －m 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是()A.y 1＜y 2＜y 3B.y 2＜y 1＜y 3C.y 3＜y 1＜y 2D.y 1＜y 36.如图，函数y 1＝k 1x与y 2＝k 2x 的图象相交于点A (1,2)和点B ，当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是()A.x ＞1B.－1＜x ＜0C.－1＜x ＜0或x ＞1D.x ＜－1或0＜x ＜17.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A.20海里B.103海里C.202海里D.30海里8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q 在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是()A.20cmB.18cmC.25cmD.32cm9.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是()A.51213 B.125C.3513 D.231310.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是()A.①④B.②④C.①②③D.①②③④二、填空题(每小题4分，共24分)11.若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是.12.如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点.若S △CMN ＝1，则S 四边形ABNM ＝.13.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC 的顶点都在方格的格点上，则cos A ＝.14.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为.15.从－1,2,3，－6这四个数中任选两数，分别记作m ，n ，那么点(m ，n )在函数y ＝6x图象上的概率是.16.如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1,0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是.三、解答题(共66分)17.(6分)先化简，再求值：(x2－2x＋4x－1＋2－x)÷x2＋4x＋41－x，其中x满足x2－4x＋3＝0.18.(6分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置.(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长.19.(6分)为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明.20.(8分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒.(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？21.(8分)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E，F，D在同一条直线上，求旗杆AB的高度.(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)22.(10分)“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数关系：y＝－4x＋220(10≤x≤50，且x是整数)，设影城每天的利润为w(元)(利润＝票房收入－运营成本).(1)试求w与x之间的函数关系式；(2)影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？23.(10分)，如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E.(1)求证：直线CE是⊙O的切线.(2)若BC ＝3，CD ＝32，求弦AD 的长.24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交与点C (0,3)，与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为(4,0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；(3)在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.答案解析2020年九年级中考数学二模试卷(满分120分；时间100分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.一元二次方程x 2－x －2＝0的解是(C )A.x 1＝2，x 2＝1B.x 1＝－2，x 2＝1C.x 1＝2，x 2＝－1D.x 1＝－2，x 2＝－12.观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是(D )3.如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将△A ′B ′C ′绕点A ′逆时针旋转一定角度后，点B ′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为(B )A.4,30°B.2,60°C.1,30°D.3,60°4.让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于(C )A.316B.38C.58D.13165.若A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (1，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x －m 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B )A.y 1＜y 2＜y 3B.y 2＜y 1＜y 3C.y 3＜y 1＜y 2D.y 1＜y 36.如图，函数y 1＝k 1x与y 2＝k 2x 的图象相交于点A (1,2)和点B ，当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是(C )A.x ＞1B.－1＜x ＜0C.－1＜x ＜0或x ＞1D.x ＜－1或0＜x ＜17.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)A.20海里B.103海里C.202海里D.30海里8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q 在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是(C)A.20cmB.18cmC.25cmD.32cm9.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是(B)A.51213 B.125C.3513 D.231310.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是(C)A.①④B.②④C.①②③D.①②③④二、填空题(每小题4分，共24分)11.若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是5.12.如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点.若S △CMN ＝1，则S 四边形ABNM ＝3.13.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC 的顶点都在方格的格点上，则cos A ＝255.14.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为(225＋252)π.15.从－1,2,3，－6这四个数中任选两数，分别记作m ，n ，那么点(m ，n )在函数y ＝6x 图象上的概率是13.16.如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1,0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是22.三、解答题(共66分)17.(6分)先化简，再求值：(x 2－2x ＋4x －1＋2－x )÷x 2＋4x ＋41－x ，其中x 满足x 2－4x ＋3＝0.解：原式＝x 2－2x ＋4＋(2－x )(x －1)x －1÷(x ＋2)21－x ＝x ＋2x －1·1－x (x ＋2)2＝－1x ＋2，解方程x 2－4x ＋3＝0得，(x －1)(x －3)＝0，x 1＝1，x 2＝3.当x ＝1时，原式无意义；当x ＝3时，原式＝－12＋3＝－15.18.(6分)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260cm，AB ＝130cm，球目前在E 点位置，AE ＝60cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置.(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长.解：(1)证明：如图，在矩形ABCD 中，由对称性可得出：∠DFC ＝∠EFB ，∠EBF ＝∠FCD ＝90°，∴△BEF ∽△CDF ；(2)解：∵由(1)知，△BEF ∽△CDF .∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－CF CF，解得：CF ＝169.即：CF 的长度是169cm.19.(6分)为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A .唐诗；B .宋词；C .论语；D .三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明.解：(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝14；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率＝112.20.(8分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒.(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？解：(1)设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x －11)元/盒，根据题意得：3500x ＝2400x －11，解得：x ＝35，经检验，x ＝35是原方程的解.答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒.(2)设年增长率为a,2014年的销售数量为3500÷35＝100(盒).根据题意得：(60－35)×100(1＋a )2＝(60－35＋11)×100，解得：a ＝0.2＝20%或a ＝－2.2(不合题意，舍去).答：年增长率为20%.21.(8分)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C 处，测得旗杆顶端A 的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F 处，测得旗杆顶端A 的仰角为60°，已知升旗台的高度BE 为1米，点C 距地面的高度CD 为3米，台阶CF 的坡角为30°，且点E ，F ，D 在同一条直线上，求旗杆AB 的高度.(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点C 作CM ⊥AB 于M .则四边形MEDC 是矩形，∴ME ＝DC ＝3.CM ＝ED ，在Rt△AEF 中，∠AFE ＝60°，设EF ＝x ，则AF ＝2x ，AE ＝3x ，在Rt△FCD 中，CD ＝3，∠CFD ＝30°，∴DF ＝33，在Rt△AMC 中，∠ACM ＝45°，∴∠MAC ＝∠ACM ＝45°，∴MA ＝MC ，∵ED ＝CM ，∴AM ＝ED ，∵AM ＝AE －ME ，ED ＝EF ＋DF ，∴3x －3＝3x ＋3，∴x ＝6＋33，∴AE ＝3(6＋33)＝63＋9，∴AB ＝AE －BE ＝9＋63－1≈18.4米.答：旗杆AB 的高度约为18.4米.22.(10分)“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y (张)与电影票售价x (元/张)之间满足一次函数关系：y ＝－4x ＋220(10≤x ≤50，且x 是整数)，设影城每天的利润为w (元)(利润＝票房收入－运营成本).(1)试求w 与x 之间的函数关系式；(2)影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得：w ＝(－4x ＋220)x －1000＝－4x 2＋220x －1000；(2)∵w ＝－4x 2＋220x －1000＝－4(x －27.5)2＋2025，∴当x ＝27或28时，w 取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元.23.(10分)，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点D ，且AE ⊥CD ，垂足为点E .(1)求证：直线CE 是⊙O 的切线.(2)若BC ＝3，CD ＝32，求弦AD 的长.(1)证明：连接OD ，如图，∵AD 平分∠EAC ，∴∠1＝∠3，∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD ∥AE ，∵AE ⊥DC ，∴OD ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线；(2)连接BD .∵∠CDO ＝∠ADB ＝90°，∴∠2＝∠CDB ＝∠1，∵∠C ＝∠C ，∴△CDB ∽△CAD ，∴CD CA ＝CB CD＝BD AD ，∴CD 2＝CB ·CA ，∴(32)2＝3CA ，∴CA ＝6，∴AB ＝CA －BC ＝3，BD AD ＝326＝22，设BD ＝k ，AD ＝2k ，在Rt△ADB 中，2k 2＋4k 2＝9，∴k ＝62，∴AD ＝ 6.24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交与点C (0,3)，与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为(4,0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；(3)在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.解：(1)∵点B 坐标为(4,0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1.∴A (－2,0)，把点A (－2,0)、B (4,0)、点C (0,3)，分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，得4a －2b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝0，解得a ＝－38，b ＝34，c ＝3，所以该抛物线的解析式为：y ＝－38x 2＋34x ＋3；(2)设运动时间为t 秒，则AM ＝3t ，BN ＝t .∴MB ＝6－3t .由题意得，点C 的坐标为(0,3).在Rt△BOC 中，BC ＝32＋42＝5.如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H .∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN OC ＝BN BC ，即HN 3＝t 5，∴HN ＝35t .∴S △MBN ＝12MB ·HN ＝12(6－3t )·35t ＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910，当△MBN 存在时，0＜t ＜2，∴当t ＝1时，S △MBN 最大＝910.答：运动1秒使△MBN 的面积最大，最大面积是910；(3)如图2，在Rt△OBC 中，cos∠B ＝OB BC ＝45.设运动时间为t 秒，则AM ＝3t ，BN ＝t .∴MB ＝6－3t .当∠MNB ＝90°时，cos∠B ＝BN MB ＝45，即t 6－3t ＝45，化简，得17t ＝24，解得t ＝2417，当∠BMN ＝90°时，cos∠B ＝BM BN ＝6－3t t ＝45；当∠BM ′N ′＝90°时，cos∠B ＝BM ′BN ′＝6－3t t ＝45，化简，得19t ＝30，解得t ＝3019，综上所述：t ＝2417或t ＝3019时，△MBN 为直角三角形.。