lim
sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x
三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式： sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
2 2
三角函数的有u ， cos x = ， u = tg ， dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2
一些初等函数：
两个重要极限：
e x − e−x 2 x e + e−x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x − e − x = 双曲正切 : thx = chx e x + e − x 双曲正弦 : shx = arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ± ln( x + x 2 − 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1− x
梯形法： ∫ f ( x) ≈
a b
b
抛物线法： ∫ f ( x) ≈
a
定积分应用相关公式：
功：W = F ⋅ s 水压力：F = p ⋅ A mm 引力：F = k 1 2 2 , k为引力系数 r b 1 函数的平均值： y= f ( x)dx b−a ∫ a 1 均方根： f 2 (t )dt ∫ b−a a
基本积分表：
1 − x2 1 (arccos x)′ = − 1− x2 1 (arctgx)′ = 1 + x2 1 (arcctgx)′ = − 1 + x2
∫ tgxdx = − ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C
x x
= ∫ sec 2 xdx = tgx + C = ∫ csc 2 xdx = −ctgx + C
dx
2
∫a
∫ sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C
x ∫ a dx =
2
ax +C ln a
∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫
sin α + sin β = 2 sin
α+β α+β
2
cos
α −β α −β
2
sin α − sin β = 2 cos
sin 2 2 α +β α −β cosα + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β cosα − cos β = 2 sin sin 2 2
·倍角公式：
dx 1 x = arctg +C 2 a a +x dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
∫ cos ∫ sin
dx
2
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α ctg 2α − 1 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 − tg 2α ctg 2α =
·半角公式：
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cosα 3tgα − tg 3α tg 3α = 1 − 3tg 2α
多元函数微分法及应用
全微分：dz =
∂u ∂u ∂u ∂z ∂z dx + dy du = dx + dy + dz ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y
全微分的近似计算：Δz ≈ dz = f x ( x, y )Δx + f y ( x, y )Δy 多元复合函数的求导法： dz ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ + ⋅ z = f [u (t ), v(t )] = dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， du = ∂u ∂u ∂v ∂v dx + dy dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y
sin tg
α
2
=± =±
1 − cosα α 1 + cosα cos = ± 2 2 2 1 − cosα 1 − cosα sin α α 1 + cosα 1 + cosα sin α = = ctg = ± = = 1 + cosα sin α 1 + cosα 2 1 − cosα sin α 1 − cosα
高 等 数 学 公 式 手 册
二〇〇六年七月
导数公式：
(tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = − csc x (sec x)′ = sec x ⋅ tgx
2
(arcsin x)′ =
1
(csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx (a x )′ = a x ln a 1 (log a x)′ = x ln a
直线：K = 0; 1 半径为a的圆：K = . a
定积分的近似计算：
矩形法： ∫ f ( x) ≈
a
b
b−a ( y0 + y1 + L + y n−1 ) n b−a 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + L + y n−1 ] n 2 b−a [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n−2 ) + 4( y1 + y3 + L + y n−1 )] 3n
α
2
·正弦定理：
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c = a + b − 2ab cos C
2 2 2
·反三角函数性质： arcsin x =
π
2
− arccos x arctgx =
π
2
− arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
⎧ x = x0 + mt x − x0 y − y 0 z − z 0 v ⎪ 空间直线的方程： = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程： ⎨ y = y0 + nt m n p ⎪ z = z + pt 0 ⎩ 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + , p, q同号） = z（ 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z 2 单叶双曲面： 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 − 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c
2 2 2 2 2 2
k v v v v v v a z , c = a ⋅ b sin θ .例：线速度：v = w × r . bz ay by cy az v v v bz = a × b ⋅ c cosα ,α为锐角时， cz
ax v vv v v v [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx 向量的混合积： cx 代表平行六面体的体积。
平面的方程： v 1、点法式：A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
dx x ±a
2 2
= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C
π
2
π
2
I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =
0 0
n −1 I n−2 n
∫ ∫ ∫
x 2 a2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 − a 2 dx = x − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C 2 2 x 2 a2 x a 2 − x 2 dx = a − x 2 + arcsin + C 2 2 a