定理
( 牛顿 —莱布尼茨公式 ) 若 f ( x) C ([a, b]), F ( x) 为 f ( x) 在 [a, b] 上的
所以，我们只需讨论积分上限函数.
x f (t ) d t 称为积分下限函数 .
b
定理 1 若 f ( x) R([a, b]), 则 F ( x) f (t ) d t C ([a, b]) .
a
x
证
x [a, b] , 且 x x [a, b] , 则
F ( x) F ( x x) F ( x)
a f (t ) d t F ( x) C0.
令 x a, , 故 C0 F (a) .
a a
x
取 x b , 则得到
b b
基本公式
a f (t ) d t a f ( x) d x F (b) F (a) .

x x a
f (t ) d t f (t ) d t
a
x
x x x
f (t ) d t
又 f ( x) R([a, b]), 故 f ( x) 在 [a, b] 上有界： | f ( x) | M .
于是 0 | F ( x) | |
x x x
x x x
f (t ) d t ,
如果 f ( x) C ([a, b]), 则由积分中值定理 , 得
F ( x x) F ( x)
x x x
f (t ) d t f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
F ( x x) F ( x) f ( )x 故 lim lim x 0 x 0 x x
f (t ) d t |
x x x
| f (t ) | d t Mx
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F ( x) C ([a, b]) .
定理 1 说明 : 定义在区间 [a, b] 上的 积分上限函数是连续的 .
积分上限函数是否可导 ?
由 F ( x x) F ( x)
基本初等函数在其定义 域内原函数存在 . 初等函数在其有定义的 区间内原函数存在 .
推论2 推论3
2. 微积分基本公式
如果 f ( x) C ([a, b]), 则 f (t ) d t 为 f ( x) 在 [a, b] 上
a x
的一个原函数 .
若已知 F ( x) 为 f ( x) 的原函数 , 则有
y
y f ( x)
a
O
xx
b
x
积分上限函数的几何意义
y
a f ( x) d x
y f ( x)
x
a
O
xx
b
x
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
由积分的性质： f ( x) d x f ( x) d x, 有
a b
b
a
x f (t ) d t b
b
x
f (t ) d t ,
a
b
这意味着 f ( x) 的定积分 f ( x) d x 与它的上下限
a
b
之间存在一种函数关系 .
固定积分下限不变 , 让积分上限变化 , 则得到积
分上限函数:
F ( x) f ( x) d x f (t ) d t
a a x x
x [ a, b] .
积分上限函数的几何意义
这说明了什么 ？
条件 lim f ( ) f ( x)
x0
定理 2 若 f ( x) C ([a, b]), 则 F ( x) f (t ) d t 在 [a, b]
a
x
上可导, 且
d x F ( x) f (t ) d t f ( x) (a x b) . dx a
高 等 数 学（文）
—— 一元微积分学
微积分的基本公式
第六章 定积分
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f ( x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值 I f ( x) d x 与之对应 .
由 F ( x) f (t ) d t 及 F ( x) f ( x) 你会想到什么？
a
x
定理 若 f ( x) C ([a, b]), 则 F ( x) f (t ) d t , x [a, b]
a
x
为 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数 .
推论1
若 f ( x) C ( I ) , 则 f ( x) 在 I 上原函数存在 .
a
f (t ) d t ) f ( ( x)) ( x)
定理 2 若 f ( x) C ([a, b]), 则 F ( x) f (t ) d t 在 [a, b]
a
x
d x 上可导, 且 F ( x) f (t ) d t f ( x) (a x b) . dx a
定理 3
若 f ( x) R([a, b]), 且在点 x0 [a, b] 处连续,
x a
则 F ( x) f (t ) d t 在点 x0 处可导, 且 F ( x0 ) f ( x0 ) .
(在端点处是指的 左右导数 )
例1
d x cos t d t cos x. ( cos t d t ) a dx a
x
F ( x)
( cos x d x ) ?
a
x
定积分与积分变量的记号无关.
( cos x d x ) cos x.
a
x
一般地 ,
若 ( x) 可导 , f ( x) C , 则
F ( x) (
( x)
a
f (t ) d t ) f ( ( x)) ( x) .
例3
e 计算 lim cos x
x0
1 t 2
dt
x
2
.
e
cos x t 2 1
解
e lim cos x
x0
1 t 2
dt
x2
lim
e
dt
下面再看 定理 2 .
x0
x2
cos 2 x
罗必达法则
lim
x 0
( sin x) 2x
1 . 2e
(
( x)