合肥八中2015届高三第二次段考数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.角2014是第( )象限A.一B.二C.三D.撕2.已知集合2{|5140},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+<<-,若B ≠∅且A B A =,则A.34m -≤≤B.34m -<<C.24m <<D.24m <≤ 3.下列四个选项错误的是A.命题“若1x ≠,则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x --=,则1x =”B.若p q ∨为真命题,则,p q 均为真命题C.若命题2:,10p x R x x ∀∈++≠,则2:,10p x R x x ⌝∃∈++= D.“2x >”是“2320x x -->”成立的充分而不必要条件4.已知角α的终边上有一点P 的坐标为22(sin ,cos )33ππ,则角α的最小正值为 A.56π B.23π C.53π D.116π5.设实数,,a b m 满足25a b m ==,且112a b+=,则m 的值为B.10C.20D.1006.已知函数sin()(0,||)2y A x m A πωϕϕ=++><的最大值为4,最小值为0,且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π,直线6x π=是该函数图象的一条对称轴,则该函数的解析式是 A.4sin(2)6y x π=+ B.2sin(2)26y x π=++ C.2sin()23y x π=-++D.2sin()23y x π=++7.222(2cos )2x dx ππ-⎰的值是 A.π B.2 C.2π- D.2π+8.设函数()g x 是二次函数,2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,若函数[()]f g x 的值域是[0,)+∞,则函数()g x 的值域是A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈,若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点,则下列图象不可能为()y f x =的图象的是A B C D10.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满足()()0f a g b ==,则A.()0()g a f b <<B.()0()f b g a <<C.0()()g a f b <<D.()()0f b g a << 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案写在答题卷的相应位置上. 11.函数()2sin(),[,0]4f x x x ππ=-∈-的单调递减区间为12.设扇形的周长为8cm,面积为4cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 13.已知sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈,则tan 2α=14.利民厂某产品的年产量在100吨至300吨之间,年生产的总成本y (万元)与年生产量x (吨)之间的关系可近似第表示为230400010x y x =-+,则每吨的成本最低时的年产量为吨15.设函数()f x 的定义域为D ,若存在非零实数t 使得对于任意实数()x M M D ∈⊆,有x t D +∈且()()f x t f x +≥,则称函数()f x 为M 上的“t 高调函数”。

给出下列三个命题: (1)函数1()()2x f x =是R 上的“1高调函数”; (2)函数()sin 2f x x =是R 上的“π高调函数”; (3)若定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的“m 高调函数”,那么实数m 的取值范围是[2,)+∞.其中正确的命题是 (写出你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)已知集合222{|320},{|2},{|40}A x x x B y y x x a C x x ax =-+≤==-+=--≤,命题:p A B ≠∅;命题:q A C ⊆. (Ⅰ)若命题p 为假命题,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题,求实数a 的取值范围.17(本小题满分12分)已知函数22()32log ,()log .f x x g x x =-=(Ⅰ)当[1,4]x ∈时,求函数()[()1]()h x f x g x =+的值域;(Ⅱ)如果对任意的[1,4]x ∈,不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立,求实数k 的取值范围.18(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且(2)cos cos b A C =．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若角6B π=,BC 边上的中线AM ，求ABC ∆的面积．19(本小题满分13分)已知函数2()(12)ln (f x x a x a x a =-++为实常数) (Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;(Ⅱ)当0a >时,讨论函数()y f x =在区间(0,1)上的单调性,并求出相应的单调区间.20(本小题满分13分)已知函数2()sin cos 333x x x f x =. (Ⅰ)将()f x 写成sin()A x b ωϕ++的形式,并求出该函数图象的对称中心;(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2b ac =,求()f B 的取值范围.21(本小题满分13分)已知函数21()ln (1)22f x x ax a x =-++-+. (Ⅰ)当0a >时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)若01x <<,求证:(1)(1)f x f x +<-; (Ⅲ)若1122(,),(,)A x y B x y 为函数()y f x =的图象上的两点,记k 为直线AB 的斜率,若1202x x x +=,'()f x 为()f x 的导函数,求证:0'()f x k >.参考答案 一、二、11、12. 2 14. 200 15. ②③三、17.【答案】：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]．故函数h (x )的值域为[0,2]．……………4分 (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， 令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，即k 的取值范围为(－∞，－3)．……………8分18. 【答案】 (1)∵(2b －3c )cos A ＝3a cos C ， ∴(2sin B －3sin C )cos A ＝3sin A cos C . 即2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A . ∴2sin B cos A ＝3sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝32， ∵0<A <π，∴A ＝π6.…………………6分(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2， 即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x ·x 2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3.…………………12分19.【答案】(1)当a ＝－1时，f(x)＝x 2＋x －ln x ，则f′(x)＝2x ＋1－1x ，(2分)所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)， 即：y ＝2x.(4分)(2)由题意得f′(x)＝2x －(1＋2a)＋a x ＝xa x x ))(21(2-- (1>x ＞0)， 由f′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，(5分)①当0＜a ＜12时，由f′(x)＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1由f′(x)＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和⎝⎛⎭⎫12，1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫a ，12， ②当a ＝12时，f′(x)≥0，且仅当x ＝12时，f′(x)＝0，所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．③当12＜a ＜1时，由f′(x)＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f′(x)＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(a,1)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，a ， ④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f′(x)＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，1.(12分) 20.【答案】23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得 即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π213……………………6分（Ⅱ）由已知b 2=a c，，，，，，231)332sin(31)332sin(3sin |295||23|953323301cos 21212222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x 即)(x f 的值域为]231,3(+.综上所述，]3,0(π∈x ， )(x f 值域为]231,3(+ . ……………………13分。