二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

解答：二项式系数之和0129999992512C C C C +++⋅⋅⋅+==例5 已知二项式9290129(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+= .分析：求系数巧用1.解答：令1x =，则所有项之和为9(1)1-=-. 所以0129=1a a a a +++⋅⋅⋅+. 一、选择题1. 8(1)x -的展开式的第六项的系数是（ ）.A.58CB.58C -C.68CD.68C - 2.10(32)x +的展开式的第3项的二项式系数是（ ）.A .210C B.8221032C ⨯⋅ C.2821032C ⨯⋅ D.310C3.2*()()n a b n N +∈展开式中，系数最大的项是（ ）. A. 第n 项 B.第n +1项 C. 第n 与n +1项 D.第12n+项4.6的各项系数之和为（ ）. A. 1 B.-1 C.62 D.62-5. 6的各项二项式系数之和为（ ）. A .1 B. -1 C.62 D.62-6. 6的奇数项的二项式系数之和为（ ）. A .1 B. -1 C. 52 D. 52-7. 在12的展开式中的常数项为（ ）. A.912C B.312C - C.1012C D.1012C - 8.在5(2x-的展开式中，第3项为（ ）. A.80x B.80x- C.280x - D.280x 9.在3721()x x+的展开式中含6x 的项为（ ）.A.367C x ⋅ B .467C x ⋅ C.567C x ⋅ D. 667C x ⋅10.在10(21)x -的展开式中含x 项的系数为（ ）. A .-20 B. 20 C. 90 D .-90 妙记巧学，归纳感悟 二、判断题1.10(1)x +的展开式中有10项.（ ）2.7(2)x y +的展开式中，只有一项的二项式系数最大.（ ）3.61()x x-的展开式中有常数项.（ ）4.7(23)x -的展开式中二项式系数之和为72.（ ）5.5(23)x -的展开式中含的3x 项的系数是1080-.（ ） 6.272()x x-二项式的展开式中的第四项为5280x -.（ ） 7.7(2)a b -的展开式中第六项的二项式系数为67C .（ ） 8.81(3)3x y-的展开式中第五项的系数和二项式系数相等.（ ） 9. 6(23)x y -的展开式中各项系数和为一.（ ） 10.27(x-二项式展开式中不含有2x 的项.（ ） 三、填空题1. 6(32)a b +的展开式中共有 项；其中二项式系数最大的项为第_____ 项. 2. 1()n a a-的展开式中第四项为含3a 的项，则n 的值为______. 3. 8)(b a +展开式中系数最大的项是第___项.4. 已知5)nb 的展开式中，第四项的二项式系数等于倒数第二项的二项式系数的7倍，则n 等于______.5. 8的展开式中常数项是______.三、解答题 1. 已知1021001210(1)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+求展开式中（1）各项系数和； （2）常数项.2.求二项式1221(2)x x-的展开式中的第12项. 高考链接1.二项式42()x x-的展开式中第3项是______.2.在二项式71()x x-展开式中，含的5x 项的系数是______. 积石成山1.已知827801278(21)x a a x a x a x a x -=+++⋅⋅⋅++，则12378a a a a a +++⋅⋅⋅++=（ ）.A .1 B.0 C. -1 D.822.已知7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01237a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ）.A. 1B. 0C. -1 D .823.已知7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1237a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）.A .1 B. 0 C .-1 D.-2 4.若331()nx x+的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项为（ ）. A. 210 B. 10 C .462 D .52 5.若(1)nx +的系数之和为1024，则其展开式中共（ ）项. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6.若5(1)ax +的展开式中，第5项为4125x ，则a =（ ）.A .5B .5± C.D.7. 设181(x-的第k 项为常数项，则k =（ ）.A. 16B. 17C. 18D. 198.当二项式10(1)x +的展开式中第5项和第7项相等时，则非零实数x 的值是（ ）. A. 1 B. -1 C. 1± D. 29.已知5(12)x -的第2项大于1而且小于等于2，则实数x 的取值范围为（ ）.A. 11[,)510--B. 11(,]510--C. 11(,)510--D. 11[,]510--10. 若二项式32()na b +的展开式中第3项和第7项的系数相等，则n =（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10二项式定理答案一、选择题二、判断题三、填空题1．7,4 解析：二项式的展开式中共有6+1=7项，6n =为偶数，则6142+=项的二项式系数最大. 2．9 解析：3333364311()(1)n n n n T T C a C a a--+==-=-， 令63n -=则9n =.3．5 解析：二项展开式中，第5128=+项的二项式系数最大，所以系数最大的项是第5项. 4．8 解析：由题意得317n n n C C -=，整理得(1)(2)42n n --=.解得8n =或5n =-，所以8n =.5．835 解析：818(m mm m T C -+=，当8m m -=即4m =时，444581352()48T C ==.四、解答题1. 解:（1）令1x =得1001210(11)0a a a a +++⋅⋅⋅+=-=.（2）令0x =得100(10)1a =-=.2. 解：111111211112221124(2)()T T C x x x +==-=- 高考链接1. 24 解析：通项公式22232142()24T T C x x+==-=.2. -7 解析：通项公式7721771()(1)m mm m m m m T C xC x x --+=-=-.当725m -=时1m =，所以1155117(1)7T C x x +=-=-.所以含5x 项的系数是7-.积石成山。