§6.4数列的通项及数列求和基础知识自主学习要点梳理1 •若已知数列｛a｝W/£a n+1-a n=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的通项和累加法2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・…・f (n)可求，则可用_求数列的通项a..©+1累积法推导方法:乘公比，错位相减法.■ % —jq\_q\_q3 •等差数列前n 项和S 产推导方法：— 等比数列前n 项和n(a x +a n )n(n-V). na x H d［到序相加法q#1.4 •常见数列的前n项和(1)(2)(3)；n(n + V) 2+4+6+…+2n= _____ ; 21+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n*1+2+3+…+n=(4) 12+22+32+..+n2= ；n2(5) 13+23+33+.. +n3=«(n + l)(2n + l)⑷+ 1)]22j5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.6 •常见的拆项公式有⑴1n(n +l)1 1n n + 1"2)(2M-1)(2〃 + 1) 2n +1⑶]Qn + Yn +1=、/ H +1—、ft ・基础自测1 •已知等比数^ij{a n},a1=3,>4a1> 2a2> 83成等差数列，则a34-a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由题意可设公比为q,贝!Ia2=a1q,a3=a1q2, •/4a2=4a14-a3,-，4a1q=4a14-a1q2,Xa1=3,/.q=2 ・ a3+a4+a5=a1q2(1+q4-q2)=3X4X(1+2+4)=84 ・2如蹈鶯肆严，…,ag…是首项为1,公比为3的等A. B. Cc.23〃+3 2解析时二先®)+ (a3-a2)3* ^(a^)2=a n=2lx(l_3")1一3 '_3〃一1 "" ■•2=n2f-F — 1 1 —i2 222〃 321, 1 164=5 +M，AA2~1 +23-已知数列6｝的通项公式是a 产,其中前侦柚卜A.13 劇64解析*-*a n = 则项数n 等于)C.9D.62"D1 戶， 1 心+前,.*/6n=n -4•若数列｛aj 的通项公式为a n =2n +2n-1,K>J 数列｛a ；｝的前n 项和为A.2n +n 2-1 C.2n+1+n 2-2解析S n =2(1_2") | 卅(1 + 2—1)B.2n+1+n 2-1 D.2n +n 2-2=2n+1-2+n 2.5擞列J_ _! _____ 5麺1项________ ! _______ A 2・5'5・8'8・11，© —1)・(3〃 + 2)‘和为()BA. B.n C・——.n 6n + 43n + 2解析餾数列通项公式71 + 16〃+ 4 n + 2得前n项和1 =1 _______________ 1(3〃一1)•⑶2 + 2) _ 3 3〃一1 _3n + 2c1Z1 1 1 1 1 1 1 1S =—( ------- 1 ------- 1 ---------nA H -------------------------- "3 2 5 5 8 8 11 3〃一1 3n + 2= 1(1__1 “ 〃 .32 3n + 2 6n + 4题型分类深度剖析题型一由递推公式求通项公式【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式.(1)设｛a」是首项为1的正项数列，且(n+1) +a n+1a n=O(n=1,2,3,...)；⑵已知数列代｝满足酩尸,a1=2.依据已知数列的递推关系适当地进行变形"+1 n的差百％或通项的商_2—匕La n + 2的规律融H-12 2%卄1 _ na n可寻找数列的通项解（1）方法一•・•数列｛aj是首项为1的正项数列,#0/.令=t,/.(n+1)t2+t-n=0, a n為+i・•・［伽(t+1)=0,・・t=。

"或t=・1 （舍去），勺+1 _上_.a n n +1 。

2 °3。

5 -A 勺% °4 Qft-11 2 3 4 人n-12 3 4 5 nn方法二由(n+1) +a 2l a n=0,^n( )+a n+1(a n+1+a n)=O, n^~na 即<^+i+ap)2：(n+1)a n+1-na n] =0.\*a n>^ha n+1q-a n#0,/.(n+1)a n+1-na n=0 即勺+1 =乳a n n + 11 2 3 4 人n-\2 3 4 5 nn(2)将已知递推式化为111111111,• __ ____ —__ ___ ____ —__ ___ _____ _ __ A 将逊上紂・1)耶縮相加衢23，a4 a3 24，1_____ _丄a n勺一1 2"—4+4+A+A+丄, a n % 22 23242"(2)将已知递推式化为_J = 1探究提高已知递推关系求通项公式这类问题要求不高注要掌握由％和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想召的方法'以及累加：9n=（a n-3n-i）+（3n_l"3n_2）+，-*+（a2'a i）+a P累乘• 9n_等方法. 勺a n-\__ __ •勺-1勺-2A •空qa｛知能迁移1由已知在数列｛%｝中比=1,求满足下列条件的数列的通项公式.（1）a n+1=认2）a n+1=2a n+2n+1-1 + 2a n解（1）因为对于一切nGN\a n #O,2〃因此由召+尸，得即1 +2a n丄丄2 ・•・数列u n+l1an+\+ 2,（n-1）-2&2p-l,BPa n = （2）根据已b 訂牛得1 1即一=—擞列 是等差数列.an a\1 2卅一1即 a n =(2n-1)2n -1.°“+1%+11,2n-\ 2题型二错位相减法求和【例2】设数列｛a」满足a! +3a2+32a3+... +3n-1 a n=nGN*. 空(1)求数列｛a」的通项；3，(2)设bn=,求数列｛“｝的前n项和Sn・(1 )由已知写出前甘项之和，两式相减.(2 ) b n=n-3啲特点是数列｛n｝与｛剑之积可用错位相减法.解(1) •/a1+3^+32a3+...+3n-1a n= ①・••当忘2时，一胖側雎*3+…篦畔扌②3①■②得3^玄=,•在①中，令n=1,得a],适合f/(2)，/b n=^：-b n=n• 3n-/.S n=3+2 X 32+3 X 33+...+n-3n/.3S n=32+2 X 33A X 34+.. +n-3n+1.④■③得2S产n・3⑦卜(3+3533+…+3忱即2S n=n3n+1・3(1 - 3") . _1 — 3…厂1 (In - 1)3曲 34+4探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列｛歹他｝的前n 项和'从而利用％与务的关系求出通项汕也进而求得％；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法/旦值得注意的是'这种方法运算过程复杂，运算量大'应加强对解题过程的训练'重视运算能力的培养.知能迁移2 （2008•全国I文,19）在数列｛a」中，a1=1, a n+1=^3n+2n. （1）设b产•证明：数列｛“｝是等差数列;（2）求数列｛a」的前n项和Sn・(1)证明・・岂+■網^+灯，・•・2_1•，・・bn+1=bn+1，即*+1化=1 ,b〔 = 1 ,故数列｛"｝是首项为1,公差为1的等差数列.知能迁移2 （2008•全国I文,19）在数列｛a」中，a1=1, a n+1=^3n+2n.勺+1QH-1(2)解由(1)知,b n=n,a n=n-2n-1, 则S n=1-2°+2-21+..+(n-1)-2n-2+n-2n1 2S n=1-21+2-22+.. +(n-1)-2n-1+n-2n 两式相减，得S n=n-2n-1 -2°-21-...-2n-1=n-2n-2n+1 ・题型三分组转化求和(l + ”l + * +》+A+(l + *,求Sn 可用分=1+-+-+A2 4 【例3】求和Sn=1 +解和式中第k 项为+探究提高先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每—个组为等差或等比数列z然后分别求和z从而得出原数列的和•它是富过对吏攵列通项结构特点的分析硏究z将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差z从而求得原数列的和的一祁求和方法.知能迁移3求下列数列的前n项和:1 + 1,— 4,p + 7,A , n l + 3w — 2,A .解前n项和&n= (1+1 )<+=(£ + 3 斥台+4+7+•… ..+(3n-2)], 叫宁存1爲)当a=1 时，S［订n； i i当詐1时*需+ /+A+戸'宀1(丄 + 4) +(丄+ 7)+ A + aa|a = 1 时，Sn=S[+S2=sp |a#1时，S n =S 1+S 2=题型四裂项相消法求和【例4】（12分）已知数列6｝中，a 1=1,当心2时，其前n 项和S.满足（1） 求Sn 的表达式；（2） 设“=,求｛"｝的前n 项和Tn ・S 2=1+4+7+...+ (3n-2)=(3n-l)n 2(3/1-1)H _ (3n + l)nI9 2 2 o" -1(3n-l)nS^=a n｛s n--）2n + l1解(1) sf 吃軻一绞2)5\_2・•・数列是首项为 公差为2的等差数列. 1 2n-l…=(SrfSn.1)(S n -), BP2^s n=Sn .1-S n , 由题意s^-s/o,①式两边同除以⑵又b产=]2〃 + 1一（2〃一1）（2〃 + 1）J/ 1 1 、尹书（亦T亦1），12分项法杏和E 寸,声注芦IH 负项相消1 被霜去的项有前后始撷的 消弹匕法的根源与目的. 消丟的项;占酚疋负 2 2/1 + 1 2n + l探究提高知能迁移4已知等差数列｛%｝的首项引=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列｛a」的通项公式；(2)设"= (nWNj, S n=b1+b2+...+b n,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有S > 总1成立？若存在，濟拔;菴羽存在,请说明理由.解(1)由题意得(a^d) (ai+13d)=(ai+4d)2, t 整理得2ai d=d2. 36•・竹1=1,解得d=2, d=0 (舍)..*.a n=2n-1 (nWI\T).思想密春魁寧提咼1 •求数列通项的方法技巧:（1）通过对数列前若干项的观察、分析，找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式；（2）理解数列的项与前n项和之间满足甘（n>2）的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题.2%的两种常见变形a n=a14- （ 32~a1 a3~a2 +…+ a n~a n-1 （累加法）；a n=a r（累乘法）.dy3•数列求和的方法技巧（1）倒序相加：用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和.失I天与防氾1・直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程.2重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和•求和过程中同时要对项数作出准确判断. 3•含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.1定时检测一、选择题1 •等差数列｛%｝的通项公式a n=2n-1，数列b产其前F1项和为则»等于（）A. B.C. 2n D•以上都不对n2n + \ 2n + ln2n-l解析\ a n=2n-1,• b—____ 1___ 丄丄** (2n + l)(2n-l) 2 2〃一1 ol n 1 1 1 1 1 A—一(1 - 1----- 1 F A2 3 3 5 5 7 2〃 + l)1 2n-\•答嬴-) = -(l2n + l 2 2n + l 2n + l2.已知数列｛a」满足a1=1,a n+1=a n+2n,则等于( )A.1 024B.1 023C.2 048D.2 047 B解析利用叠加法及等比数列求和公式，可求得a10=210-1=1 023.13•已知数列｛%｝的前n项和S n=n2-4n+2,则冋|+關+…+固。