江苏省淮安市淮阴中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．若5sin 13α=-
且a 为第三象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512
- 2．已知集合{}
220A x x x =-=，则下列选项中说法不正确的是（ ） A ．A ∅⊆ B ．2A -∈ C ．{}0,2A ⊆ D ．{}3A y y ⊆≤
3．任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+
≥恒成立.则实数m 取值范围是（ ） A ．14m ≥ B ．14m ≤ C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．2m ≤
4．在下列区间中，函数()e 43x f x x -=+-的零点所在的区间可能为（ ）
A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．已知1sin cos 6αα⋅=-，ππ44
α-<<，则sin cos αα+的值等于（ ）
A B ．C ．D 6．将函数2sin()3
y x π=+的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
A ．12π
B ．6π
C ．3π
D ．23
π 7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（ ）
A ． 1.510
B ．1.5
C ．lg1.5
D ． 1.510-
8．若函数()f x 满足()()
111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上，方程()()3f x k x =+有两个实数解，则实数k 的取值范围为是（ ）
A ．3k <--
B ．3k <-+
C ．104k <≤
D ．103
k -≤<
二、多选题
9．已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则函数()f x 定义域可能为（ ）
A ．[]22-,
B ．[]0,2
C ．[]2,0-
D ．{}1,1-
10．已知实数a ，b ，c ，满足1e ln a b c ==
，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．b c a => B ．c a b => C ．b c a >> D ．c b a >>
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数
()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩
为有理数为无理数 ，称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的值城为[]0,1
B ．R x ∀∈，()()1f f x =.
C ．()f x 为偶函数
D ．()f x 为周期函数
12．记函数()()()cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =[]0,1恰有三个零点，则关于()f x 下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在[]0,1上有且仅有1个最大值点
B ．()f x 在[]0,1上有且仅有2个最小值点
C ．()f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增
D ．ω的取值范围为7π10π,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
三、填空题
13．函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.
14．若,a b 都是正数，且1ab =，则2+a b 的最小值是______.
15．已知函数()24,43,x m f x x x x m ≥⎧=⎨+-<⎩
，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．
16．设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值.若正实数．．．a 满足[]
[]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是______.
四、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分
别与单位圆交于,A B 两点，且OA OB ⊥.
(1)若点A 的横坐标为35
，求2sin cos αβ的值； (2)求()()πsin πcos 23πcos πsin 2αββα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
的值. 18．已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x
=+-. （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）
（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
19．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，0ω>与函数()()cos 2g x x θ=+有相同的对称中心. (1)求ω，θ的值；
(2)若函数()g x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求出函数()g x 的单调区间. 20．已知函数()()()()12log 2121R x x f x a a +=---∈.
(1)当1a =时，求()f x 的定义域；
(2)当23log ,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()f x x =有两解，求实数a 的范围. 21．已知函数()122x x a h x a
=+，0a >且1a ≠. (1)若2a =，令()()()221
h x k g x h x +=+，若对一切实数x ，不等式()2g x <恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()
*44N 2n n
h n n -+<∈，试确定a 的取值范围
.
22．对于定义域为I 的函数()y f x =，区间I D ⊆。

若满足条件：使()f x 在区间I 上的值域为I ，则把()y f x =称为I 上的闭函数.若满足条件：存在一个常数(]0,1α∈，对于任意12,x x I ∈，如果12x x ≠，那么()()1212f x f x x x α-≤-，则把()y f x =称为I 上的压缩函数.
(1)已知函数()f x 1I 上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间1I ，并给出证明；
(2)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1k f x x
=-，是否存在实数a ，()b a b <，使()f x 是区间[],a b 上的闭函数，若存在，请求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由；
(3)函数()y f x =是区间[]0,1上的闭函数，且是[
]0,1上的压缩函数，求满足题意的函数()y f x =在[]0,1上的一个解析式.
参考答案：
1．C
2．B
3．B
4．D
5．D
6．B
7．A
8．C
9．ABC
10．ACD
11．BCD
12．AD
13．[)2,-+∞
14
．15．(]1,2
16
．122⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ 17．(1)3225
- (2)1-
18．（1）210500350,040()400006200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩；（2）年产量为25万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是5900万元.
19．(1)2ω=，2ππ+,Z 3
n n θ=∈. (2)单调增区间为π2π[π+,π+]6,3Z k k k ∈，单调减区间为ππ[π,π+],Z 6
3k k k -∈.
20．(1)()1,0-
(2)()8,9
21．(1)4k < (2)
114a <<或14a <<
22．(1)[]11,4I =（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解
(2)不存在，理由见详解
(3)()f x x =。