四、 计算方法
单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
12
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P
W 1 P 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
tC
P WPt t
13
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功
(Virtual Work)
21
P2
22
注意： P1 （1）属同一体系；
FB
有外力所做虚功之和为零。
16
三、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
P
WP
M
WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M
P
△
有形变有位移
有位移无形变
§9.1 结构位移概念
一、变形与位移
A
FP
A
Ay
A
位移
1.线位移 2.转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
8
⒊ 相对线位移：
ABAB
⒋ 相对角位移：
CD CD
A'
A
△A
△B
C
D
CD
9
§9.1 结构位移计算概述
一、变形与位移
17
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1Байду номын сангаас,2
3 4
虚 功 方 程 ： X 1 + F P 11 + F P 22 = 0
X F P 11 F P 22 F P 1 2 2 F P 4 3 2 F P
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计 A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
10
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
B P W P A PB P( A B ) P
15
刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外 力。
-FP ΔP +FB ΔB=0
在具有理想约束的刚体
ΔP
FP
体系上,如果力状态中的力FAx
ΔB
系满足平衡条件,位移状态
中的刚体位移与几何约束 相容,则作用于刚体系的所
虚F A功y 原理
（2）求截面E处的弯矩ME
1
a,2
a 2
虚 功 方 程 ： X 1 + F P 11 + F P 22 = 0
X F P 11F P 22F P a2F Pa 20
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协
调位移状态之间----虚力原理
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
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三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
⒉ 本章的重点与难点
重点：掌握计算位移的基本方法 ——单位荷载法。
尤其能熟练正确地运用图乘法。 难点：虚拟状态的建立，各类图形的图
乘。
3. 本章在全课程中的地位
要求静定结构的位移，必先求出静 定结构的内力。因此本章可以说是对前 面所学的各类静定结构的内力计算的复 习。同时，位移计算又是下章即将开始 学习的超静定结构的基础。
第九章 虚功原理和位移计算
1
⒈ 本章的主要内容
本章从功的概念出发，介绍了力学的 一个普遍原理——虚功原理。并利用这个 原理推导出了结构的位移计算公式。
本章着重介绍了代替位移计算公式 中的积分运算的图乘法。
此外，本章还介绍了： 静定结构在温度变化、支座移动时的位移 计算; 线弹性结构的四个互等定理。
（11122 ）均应力为满状可足态能变应状形满态协足。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状 b和方实 态代1为程际 无 入零用 关得，的,故:是即可刚M 设：体B虚X X 位x0 移 X 原b 1理P P /，a 实C 质 上0是
(3)求解时关键一步X是找出虚位x移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
因而,从全课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的内容。
4. 本次课的内容及要求
⑴ 了解形变、位移的概念及位移的种类。 ⑵ 明确位移计算的目的。 ⑶ 掌握变形体系的虚功原理（本次课重 点）。
§9.1 结构位移概念
一、变形与位移 ⒈变形：结构在外部因素作用下发生的形 状的变化。 ⒉位移：结构上点的移动和面或杆的转动。 ⒊两者之间的关系：有形变必有位移；有 位移不一定有形变。