正态分布
要求层次
重难点
正态分布
A
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
（一） 知识内容
1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近
的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22
()2()2πx f x e
μσσ
--=⋅，x ∈R ，
其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．
式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作
2(,)N μσ．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．
例题精讲
高考要求
正态分布
x=μ
O
y
x
⑶重要结论：
①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．
②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
（二）典例分析：
【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，
，则(3)P X <=（ ） A ．1
5
B ．
1
4
C ．1
3
D ．
12
【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()
()210N σσ>，，若X 在()01，
内取值的概率为0.4，则X 在()02，
内取值的概率为 ．
【例3】 对于标准正态分布()01N ，
的概率密度函数()2
2
x f x -=，下列说法不正确的是（ ）
A ．()f x 为偶函数
B ．()f x
C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数
D ．()f x 关于1x =对称
【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，
，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84
【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数
的 ．
【例6】 已知2(1)X N σ-，
~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算
【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．
【例8】 设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）
．
【例9】 设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．
⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->
【例10】 如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，
，，求(11)P ξ-<<的值．
【例11】 正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)
P X ≤的值．
【例12】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A ．2
()2()
x r f x e
σ
-=
B ．22
()x f x - C ．2(1)
4()x f x e -=
D ．2
2()x f x e =
【例13】 若正态分布密度函数2
(1)2
()()
x f x x --
=
∈R ，下列判断正确的是（ ）
A ．有最大值，也有最小值
B ．有最大值，但没最小值
C ．有最大值，但没最大值
D ．无最大值和最小值
【例14】 设ξ的概率密度函数为2
(1)2
()
x f x --=
，则下列结论错误的是（ ）
A ．(1)(1)P P ξξ<=>
B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤
C ．()f x 的渐近线是0x =
D ．1~(01)N ηξ=-，
【例15】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
2
(80)200
()
x f x --=
，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D ．该市这次考试的数学标准差为10
【例16】 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h
的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．
【例17】 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，
随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少
【例18】 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论
上说在80分到90分的人数是______．
【例19】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数0
1()1202x f x x a x x ⎧⎪
=-<⎨⎪⎩
≤≤≥，
⑴求常数a 的值；⑵求3
(1)2
P ξ<<．
【例20】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数20
1()1202x f x ax x x ⎧⎪
=<⎨⎪⎩
≤≤≥，求a 的值及3(1)2P ξ<<．
【例21】 设随机变量X 具有概率密度30
()00x ke x f x x -⎧=⎨<⎩
≥，求k 的值及(0.1)P X >．
【例22】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X 的密度函数
为100||
||100()10000
0||100x x f x x -⎧⎪=⎨⎪>⎩
≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
【例23】 设2~()X N μσ，
，且总体密度曲线的函数表达式为：221
4
()x x f x -+-
=，x ∈R ．
⑴求μσ，
；⑵求(|1|P x -<
及(11P x -<+的值．
【例24】 某校高中二年级期末考试的物理成绩ξ服从正态分布2(7010)N ，
． ⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩． 已知标准正态分布表(0.97)0.833φ=．
【例25】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N ，．已知成
绩在90分以上（含90分）的学生有12名． ⑴试问此次参赛学生总数约为多少人
⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分
附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066
φφφ
，，．
===。