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高中数学- 正态分布


C.8 与 10
D.2 与 10
解析:由正态曲线 f(x)=
1 2πσe
(
x )2 8
知,
2πσ= 8π, μ=10,
即 μ=10,σ=2.
答案:B
2.如图是正态分布 N(μ,σ21),N(μ,σ22), N(μ,σ23)(σ1,σ2,σ3>0)相应的曲线, 那么 σ1,σ2,σ3 的大小关系是( ) A.σ1>σ2>σ3 B.σ3>σ2>σ1 C.σ1>σ3>σ2 D.σ2>σ1>σ3 解析:由σ的意义可知,图象越瘦高,数据越集中, σ2越小,故有σ1>σ2>σ3. 答案:A
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由 此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图 象可求σ.
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,

f(x)=
1 8πe
(
x
10 )2 8
,则这个正态总体的均值与标准差
ห้องสมุดไป่ตู้分别是
()
A.10 与 8
B.10 与 2
期望为μ,标准差为σ的正态分布通常记作 N(μ,σ2), μ=0,σ=1的正态分布叫 标准正态分布.
2.正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方 ,并且关于直线 x=μ 对称; (2)曲线在 x=μ 时处于最高点,并由此处向左右两边 延伸时,曲线逐渐 降低 ,呈现“中间高,两边低 ”的形状; (3)曲线的形状由参数σ确定,σ越 大,曲线“矮胖”;σ 越 小,曲线越“高瘦”.
7.灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位:小时),已 知X~N(1 000,302),要使灯泡的平均寿命为1000小时 的概率约为99.7%,则灯泡的最低寿命应控制在多少 小时以上? 解:因为灯泡的使用寿命X~N(1 000,302), 故X在(1 000-3×30,1 000+3×30)的概率为99.7%, 即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%, 故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上.
[精解详析] 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于
直线
x=20
对称,最大值是 2
1
,所以 π
μ=20.

1= 2π·σ 2
1
,得 π
σ=
2.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)=2
1
π·e
()0x2 4
2
,x∈(-∞,+∞),
总体随机变量的期望是 μ=20,方差是 σ2=( 2)2=2.
[一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ, 具体方法如下:
2.对于正态曲线的性质,应结合正态曲线的特点 去理解、记忆.
[例1] 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出 其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量 的期望和方差.
[思路点拨] 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线 的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、 标准差及解析式.
3.正态分布的3σ原则 P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%; P(μ-2σ<X<μ+2σ)= 95.;4% P(μ-3σ<X<μ+2σ)= 99.7. % 正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准差之内,这就 是正态分布的3σ原则.
1.正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ 确定.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数, 可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动 大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
[例3] (10分)据调查统计,某市高二学生中男生的身高 X(单位:cm)服从正态分布N(174,9).若该市共有高二男生3 000人,试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数.
[思路点拨] 因为μ=174,σ=3,所以可利用正态分布 的性质可以求解.
[精解详析] 因为身高X~N(174,9),
因为P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4,所以正态总体 X几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间 以外取值的概率只有0.0026,这是一个小概率事件,通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统 计中常用的假设检验基本思想.
[一点通] 解答此类问题的关键在于充分利用正态 曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概 率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用.
3.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=________.
解析:若随机变量 X~N(μ,σ2),则其正态密度曲 线关于 x=μ 对称,故 P(X≤μ)=12. 答案:12
所以μ=174,σ=3,
(2分)
所以μ-2σ=174-2×3=168,
μ+2σ=174+2×3=180,
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
(6分)
又因为μ=174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等,均为
0.477 2,
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是
[例2] 在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4), 求正态总体X在(-1,1)内取值的概率.
[思路点拨] 解答本题可先求出X在(-1,3)内取值的概 率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值 的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.
[精解详析] 由题意得 μ=1,σ=2, 所以 P(-1<X<3)=P(1-2<X<1+2)=0.682 6. 又因为正态曲线关于 x=1 对称, 所以 P(-1<X<1)=P(1<X<3)=12P(-1<X<3)= 0.341 3.
6.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于 交通拥挤,所需时间(单位:分)服从X~N(50,102), 则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为______. 解析:∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10. ∴P(30<X<70)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4. 答案:0.954 4
3 000×0.477 2≈1 432(人).
(10分)
[一点通] 解决此类问题一定要灵活把握3σ原则,将 所求概率向P(μ-σ<X<μ+σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ),P(μ- 3σ<X<μ+3σ)进行转化,然后利用特定值求出相应的概 率.同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面 积为1这一特殊性质.
4.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>c+1)= P(X<c-1),则c=________.
解析:∵μ=2,P(X>c+1)=P(X<c-1), ∴c+1+2 c-1=2,解得 c=2. 答案:2
5.若X~N(5,1),求P(5<X<7).
解:∵X~N(5,1),∴μ=5,σ=1. 因为该正态曲线关于 x=5 对称, 所以 P(5<X<7)=12P(3<X<7)=12×0.954 4=0.477 2.

2.4
二 正态 章 分布
理解教材新知
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1.正态曲线
态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)=e
1
(
x )2 22
2π·σe
,x∈R,其中参数μ为正态分布变量的
数学期望 ,μ∈( -∞, +∞ );σ为正态分布变量的 标准差 ,σ∈ (0,+∞).正态变量的概率密度函数(即f(x)) 的 图象 叫做正态曲线.
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