( x)
x
f ( x)dt
x

1 e dt 2
t2 2
标准正态分布表的使用

将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x) x得到 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有


P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1

对于一般正态分布，即X~N( , )，有
b a P ( a X b)
标准化的例子
P(2.9 X 7.1)
一般正态分布
= 10
X 2.9 5 Z .21 10 X 7.1 5 Z .21 10
(2)
X 5 P 1.67 (1.67) 0.9525 3
大数定理与中心极限定理

大数定理
1 n 当样本容量n 充分大时，可以 lim p X i 1 用样本平均估计总体平均。 n n i 1
m lim p p 1 n n
正态分布的重要性

描述连续型随机变量的最重要的分布 经典统计推断的基础
f (x)

x
概率密度函数
f ( x) 1
2
e

1 2
2 x 2
, x
f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- < x < ) = 总体均值

当试验次数n充分大时,可以 用频率代替概率。
大数定理的意义：个别现象受偶然因素影响，但 是，对总体的大量观察后进行平均，就能使偶然因 素的影响相互抵消，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律，这就是大数定理的意 义。
中心极限定理
正态分布的再生定理
：相互独立的两个 正态随机变量相加之和仍服从正态分布。 中心极限定理：
例题
某车间有200台机床，它们独立工作着，
开工率各为0.6，开工时耗电各为 1kw， 问供电所至少要供给这个车间多少电， 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会 因供电不足而影响生产？
F ( x) P( X x) f (t )dt
x
( x )

根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
a b
分布函数与密度函数的图示


密度函数曲线下的面积等于1 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
概率与 概率分布
学习内容

正态分布 大数定律与中心极限定理
离散型随机变量的数学期望


在离散型随机变量 X 的一切可能取值的完 备组中，各可能取值 xi与其取相对应的概 率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 计算公式为
E ( X ) xi p i
i 1 n
( X取有限个值） ( X取无穷个值）
标准正态分布
=1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
正态分布（实例）
【例】设X~N(0，1)，求以下概率：
(1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)；
(3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2)
解：(1) P(X <1.5) = (1.5)=1-0.0668=0.9332 (2) P(X >2)=1- P(X 2)=1-0.9973=0.0228 (3) P(-1<X 3)= P(X 3)- P(X <-1)



和 对正态曲线的影响
f(x ) B A C
x
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
f( x )
P(a x b) f ( x)dx ?
a b
a
b
x
标准正态分布函数

任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
Z
X

~ N (0,1)
标准正态分布的概率密度函数 x2 1 2 f ( x) e x 2π 标准正态分布的分布函数
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
例题
某地区职工家庭的人均年收入平均为
12000元，标准差为2000元。若知该地 区家庭的人均年收入服从正态分布，现 采用重复抽样从总体中随机抽取25户进 行调查，问出现样本平均数等于或超过 12500元的可能性有多大？
(1) P(X 10) ； (2) P(2<X <10) X 5 10 5 解：(1) P( X 10) P 3 3
2 5 X 5 10 5 P (2 X 10) P 3 3 3 X 5 P 1 1.67 3 (1.67) (1) 0.7938
E ( X ) xi p i
i 1
离散型随机变量的方差


随机变量 X 的每一个取值与期望值的离差 平方和的数学期望，记为D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为
D( X ) E[ X E ( X )]2 若X是离散型随机变量，则 D( X ) xi E ( X ) pi

在平面直角坐标系中画出 f(x)的图形，则对于任何 实数 x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的 面积 b
概率是曲线下的面积
P(a X b) f ( x)dx
a
f(x)
a
b
x
分布函数


连续型随机变量的概率也可以用分布函数 F(x)来表示 分布函数定义为
2 i 1
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
均匀分布
正态分布
指数分布
其他分布
ห้องสมุดไป่ตู้
概率密度函数

设X为一连续型随机变量，x 为任意实数， X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件
(1) f ( x ) 0 ( 2)


f ( x )dx 1
f(x)不是概率
概率密度函数
= (3)- (-1)= (3) – [1-(1)]
= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X | 2)= (2)- (-2) = (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9544
正态分布（实例）
【例】设X~N(5，32)，求以下概率
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差

连续型随机变量的数学期望为
E ( X ) xf ( x)dx

2 D ( X ) x E ( X ) f ( x ) d x 方差为 2


性质：
EX 1 X 2 E X 1 E X 2 D(αX)=α2 D(X)
2 X ~ N , n
大样本的平均数近似服从正态分布。
中心极限定理（图示）
中心极限定理：从均值为，方差为 2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的 抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布
x n
一个任意分 布的总体
正态分布函数的性质


概率密度函数在x 轴的上方，即f (x)>0
正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数 和众数 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过 均值的标准差来区分。 决定曲线的高度，同 时决定曲线的平缓程度，即宽度 曲线 f(x) 相对于均值 对称，尾端向两个方向无限 延伸，且理论上永远不会与横轴相交 正态曲线下的总面积等于1