导数选择题之构造函数法解不等式的一类题
一、单选题
1．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
2．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
3．定义在 上的偶函数 的导函数 ，若对任意的正实数 ，都有 恒成立，则使 成立的实数 的取值范围为（）
11．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函数．若 ，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（）
A．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0)B．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)
8．B
【解析】
【分析】
构造函数 ， ，研究 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【详解】
设 ， ，
则
则 ， 在定义域内单
【点睛】
本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。
9．A
【解析】分析：先构造函数 ，再根据函数单调性解不等式.
14．C
【解析】分析：由题意构造函数 求导可知函数是区间 上的增函数，把原不等式转化为 ，结合 求得x的范围.
详解：
则函数 是区间 上的增函数.
由不等式 ，得
，解得 ，
又由 ，得 ，即
.
故选C.
点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.
3．A
【解析】
【详解】
分析：构造新函数 ，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．
详解：设 ，则 ，由已知当 时， ，∴ 在 上是减函数，又∵ 是偶函数，∴ 也是偶函数， ，
不等式 即为 ，即 ，
∴ ，∴ ，即 ．
故选A．
点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如 ， ， ， 等等．
7．C
【解析】
【分析】
构造函数 ，由 可得 在 递增，结合奇偶性转化原不等式为 从而可得结果.
【详解】
由 得 ，
令 ，
，
时， 递增，
又 时，
不等式 等价于
是偶函数， 也是偶函数，
可得 或 ，
所以 的解集为 或 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
A． B． C． D．
19．设函数 是奇函数 的导函数，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案
1．B
【解析】【分析】
构造函数 ，则得 的单调性，再根据 为奇函数得 ，转化不等式为 ，最后根据单调性性质解不等式.
【详解】
构造函数 ，则 ，所以 在 上单独递减，
因为 为奇函数，所以 .
详解：根据题意，设 ，
则 ，
又由函数 定义在 上，且有 ，
则 ，则 在区间 上递减，
若 ，则 ，
，
则 ，
即不等式的解集为 .
故选：B.
点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数 ，并分析其单调性.
6．C
【解析】
根据题意，函数 满足任意 都有 ，则有 ，则 是周期为 的函数，则有 ，设 ，则导数为 ，又由 时， ，则有 ，则有 ，则函数 在 上为减函数，则有 ，即 ，又由 ，则有 ，变形可得 ，故选C.
C．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0)D．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)
13．已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ,则不等式 的解集为
A． B． C． D．
14．函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为（）
详解：令 ，因为 ，
所以
因此解集为 ，
选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造 ， 构造 等
10．C
【解析】
【分析】
构造函数 ，可得 ， 在 上单调递增，原不等式等价于 ，利用单调性可得结果.
16．C
【解析】
【分析】
令 ，得到 在 递增，有 ，从而得到答案．
【详解】
构造函数 . 在 恒成立， 在 上是增函数，
得 ，
故选 .
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x2f（x）-x2是解题的关键，属中档题．
17．D
【解析】
【分析】
：先构造 的原函数 ，由此题意，得出原函数 单增函数，由此判断函数值的大小。
15．D
【解析】分析：由题意构造函数 ，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
详解：令 ，
则： ，
由 ，都有 成立，可得 在区间 内恒成立，
即函数 是区间 内单调递减，
据此可得： ，即 ，则 .
本题选择D选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
【详解】
：先构造 的原函数，因为 ，则 ，那么在不等式的两边同时乘以 不等号不变， ，所以原函数 单增函数，由此 ，
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
因此不等式 等价于 ，即 ，选B.
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造 ， 构造 等
2．A
【解析】分析：构造函数 ，首先判断函数的奇偶性，利用 可判断 时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.
【详解】
设 ，
由 可得 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
不等式 等价于
，
因此 ， ，
即等式 的解集为 ，故选C.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
13．B
【解析】
【分析】
构造函数 ，将不等式转化为 ，再根据 定义域以及单调性化简求解.
【详解】
令
因为 ，
所以
因为 在 单调递减，
所以 ，选B.
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造 ， 构造 等
A． B． C． D．
4．已知函数 定义在数集 上的偶函数，当 时恒有 ，且 ，则不等式 的解集为()
A． B．
C． D．
5．定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
6．设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时，有 ，则 的大小关系是（）
A． B．
C． D．
7．已知偶函数 满足 ，且 ，则 的解集为
4．B
【解析】分析：设 ，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.
详解：设 ，所以 ，
因为当 时，有 恒成立，
所以当 时 ，所以 在 上递增，
因为 ，所以 ，所以 是奇函数，
所以 在 上递增，因为 ，所以 ，
当 时， 等价于 ，所以 ，所以 ，
详解：
设 ，
则 的导数为 ，
因为 时， ，
即 成立，
所以当 时， 恒大于零，
当 时，函数 为增函数，
又 ，
函数 为定义域上的偶函数，
当 时，函数 为减函数，