（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面 体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个 面的直角（只需写出结论）；若不是， 说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大
小为 ，求 DC的值．
3
BC
导入新课
《九章算术》
《九章算术》大约成书于公元1世纪，是我国 古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要 的数学书籍。它从成书直到西方数学传入之前，一 直是中国古代数学学习者的首选教材。对古代数学 的发展起了巨大的推动作用。
m m'
y
x
所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
这是个“一盈一不足”问题，还有“两盈”“两不
足”“一盈一适足”“一不足一适足”等四类问题。
课堂习题
“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。 大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍增，小鼠日自 半。问何日相逢，各穿几何？
解：假如设 x 天后两鼠相遇，则由于大老鼠每天打
在正负数的概念的引入以及正负数运算法则的确 定方面，我国是遥遥领先的。
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就。
标志着中国古代数学体系的形成。
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展。
《九章算术》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数 学原理； 中国传统数学 最具代表性的人物 。
刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002）
内容介绍
《九章算术》 （东汉，公元100年）
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年。后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学。唐 宋两代成为国家明令规定的教科 书，并在北宋时由政府进行过刊 刻（1084），成为世界上最早 的印刷版教学书。
刘徽在《九章算术注》中给出了正、
负数的定义：两算得失相反，要令 “正”“负”以名之。同时用红色算筹表示 正数，用黑色的表示负数；12世纪，李冶首 创了在数字上加斜划以表示负数。
负数记号
有关正负数的乘除运算法则，直到元代，朱世杰
的《算学启蒙》中才明确给出。
我国对正负数四则运算所做的总结不晚于13世纪。 而国外首先认为负数的人是三个世纪后的印度数学家 婆罗摩芨多，欧洲对负数的认识就更晚了。
古希腊
公元前 300年
公元1 世纪
对比《原本》和《九章算术》
《原本》是以形式逻辑方法把所有内容组 织为有机整体，《九章算术》则按问题的性 质和解法分类编排；
《原本》注重演绎推理，较少实用，《九 章算术》则全是实用算法；
《原本》内容全部为几何或几何外衣下的 算术，《九章算术》则集中了算术、代数、 几何等我国当时的全部数学知识。
《九章算术》是数学知识的光辉的集成。它支 配着中国计算人员一千多年的实践……土地的丈量、 仓谷的容积、堤坝和河渠的修建、税收、兑换率— —这些似乎都是重要的实际问题。“为数学而数学” 的场合极少。这并不意味着中国计算人员对真理不 感兴趣，但他们感兴趣的不是希腊人所追求的那种 抽象的、系统化的学院式真理。
《九章算术》，作者不可考。一般认为它是经 历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。西 汉的张苍、 耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大 体已成定本。最后成书最迟在东汉前期。
《九章算术》
《九章算术》，现在 传世的是三国时期魏元帝 景元四年（263年），刘 徽为《九章》所作的注本。 内容是由周代的“九数” 发展而来的。刘徽称： “周公制礼而有九数，九 数之流则《九章》是矣”。 明代刊印的《九章算术注》
墙的进度分别是1尺，2尺，4尺，…，2x1尺，小老鼠每
天打墙的进度分别是1尺，1尺…，1 尺，列方程：
2
2 x 1
1
2
4
2x1
1
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4
1 2x1
5
“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大 鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍增，小鼠日自半。 问何日相逢，各穿几何？
转化为“盈不足”问题：假设两只老鼠打洞2天，则
古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺。问:积及为米几何?”其意思
为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为
一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥
的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，
米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的
米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62
立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的
盈不 足术 表格 表示
所出率 盈不足
维乘 实 法
所出率差 物价 人数
8
7 把所有人的钱数写出来
3
4 多余、不足的钱数
32
21 将第一、二行交错相乘
53 维乘相加后的结果称为“实”
7
盈、不足相加称为法
1
所出率中，大数减小数
53
所出率差除“实”
7
所出率差除“法”
现在一般地，设 x人共出 y钱购物。若每人出 m钱则
盈n 钱；每人出 m'钱则不足 n'钱，求 x与 y ，按“盈
不足术”得如下的解法表格：
所出率 m m' 把所有人的钱数写出来
盈不足 n n' 多余、不足的钱数
维乘 实 法
所出率差 物价 人数
mn' nm' 将第一、二行交错相乘 mn'nm' 维乘相加后的结果称为“实”
n n' 盈、不足相加称为法
内容介绍
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述，收有246个 数学问题，分为九章．它们的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长
等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.
米约有（ ）.
（A）14斛 （B）22斛
（C）36斛
（D）66斛
情境导入
（2015年湖北卷）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧
棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的 四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面 ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连 接DE，DF，BD，BE．
盈不足术
盈不足问题是我国数学的古典名题：今有共买物， 人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何.
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以 译为文实：。现并在 盈有、几不个足人为买法物....品..置，所如出果率每，人以出少8减文多钱，，余则，盈以余约3文法钱、；实如。 果实每为人物出价，7文法钱为，人则数还。缺4文钱。问人数和物价各为多少？
中国古代数学瑰宝
《九章算术》
隆德县中学 刘芳
复习导入
必修三算法案例
复习导入
（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于
我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”．执行该程序框图，若输入的 a ，b分别为14,18，
则输出的 a （ B ）．
A．0
B．2
C．4
D．14
情境导入
（2015年全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国
仍差5寸，不能把墙打穿；假设打洞3天，就会多出3尺
7寸半。
两只老鼠相遇的天数：
2 3.75 3 0.5 2
2（天）
巧妙转化 变难为易
3.75 0.5
17
相会时，大、小老鼠分别穿墙：
1 2 4 2 3 8（尺） 1 1 1 2 1 9（尺）
17 17
2 4 17 17
方程术
《九章算术》中的“方程”专指多元一次 方程组。古人在求解多元一次方程时，把方程 组的系数和常数项用算筹摆成方阵（称这样的 方阵为“方程”），再做行之间的加法，以减 少系数，最后求得方程组的解。
——李约瑟《中国科学技术史》
《九章算术》是一部世界性的数学著作，早在 隋唐时期就已经传入朝鲜、日本，现在更被译为英、 德、俄等多种文字。
课堂小结
《九章算术》是一部世界性的数学著作。 《九章算术》表现出的中国古代数学的独具 特色以及中国古代的聪明才智和独具匠心。
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分别与三个未知数对应的
加减消元法
系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、三元、 四元和五元的，全部用上述演算程序。
多元方程组的解法在印度最早出现在7世纪 初婆罗摩芨多所著的书中。在欧洲，最早提出三 元一次方程组解法的人是16世纪的法国数学家比 特奥。而多元一次方程组的一般解法直到18世纪 才由法国数学家贝祖建立。
3x 2 y z 39 2x 3y z 34 x 2 y 3z 26
把方程组的系数从上至下 （从右向左）摆成三列，运算 采用“遍乘直除”的方法
123 232 311 26 34 39
004 040 400 11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下
《九章算术》中的方程术，不仅是中国古 代数学的伟大成就，也是世界数学史上一份不可 多得的宝贵财富！
正负术
方程的每一行是由多项未知量和一个已知量所组成 的等式，其中可能有相反意义的数量；再者，在通过 “遍乘直除”来求解多元一次方程组时，也会出现大数 减小数的情况，由此产生正数与负数的对立概念。