第三章 Poisson 过程教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性；（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；（4）了解泊松过程的三种推广。

教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性；（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；（3）泊松过程的三种推广。

教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。

3.1 Poisson 过程教学目的：掌握Poisson 过程的定义及等价定义；会进行Poisson 过程相关的概率的计算。

教学重点：Poisson 过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson 过程相关的概率的计算。

教学难点：Poisson 过程的定义与其等价定义等价性的证明。

Poisson 过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义定义3.1：{(),0}N t t ≥随机过程称为计数过程，如果()0N t t 表示从到时刻 某一A 特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： (1)()N t 取值为整数；(2)()()()-()(,]s t N s N t N t N s s t <≤时，且表示时间A 内事件发生的次数。

计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。

如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程有独立增量。

即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。

若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。

即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。

Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。

.独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立增量.和平稳增量的计数过程定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =；(2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的(()-())P N t s N s n +=!ntt en λλ-=（）例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求(1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？(2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？(解：见板书。

)注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。

（2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。

）（3）0lim (()-()0)t P N t s N s +→+=0lim 1()tt e t o t λλ+-→==-+ 0lim (()-()1)t P N t s N s +→+=0lim ()t t te t o t λλλ+-→==+ 0lim (()-()2)()t P N t s N s o t +→+≥=（让同学们通过讨论来解释这几个极限结果的实际意义，适当引导学生结合实际并应用二项分布与Poisson 分布之间的关系来解释这3个极限。

）,根据稀有事件原理在概率论中我们已经学到：,Bernoulli 试验中，每次试验成功的概率很小而,实验的次数很多时二项.Poisson 分布会逼近分布.这一现象也体现在随机过程中(0,]t 首先，将划分为 n 个相等的时间小区间，则由(4)'n →∞条件可知，当时，在每个小区间内事件220.→发生次或次以上的概率事件发生一次的概(),,tp h p nλλ≈⋅=率显然很小1这恰好是次.Bernoulli 试验1,,其中发生次为成功不发生的为失败再由(2)'给出 ,()N t n 的平稳增量就相当于次独立Bernoulli 试验中试验成功的总次数。

由()Poisson N t 分布的二项逼近可知，将服从t Poisson λ参数为的分布。

（让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson 过程，则必须验证是否满足（1）——（3），条件（1）说明计数过程从0开始，条件（2）通常可以从我么对过程的实际情况去直接验证，然而条件（3）一般完全不清楚，如何去判断？是否可以从我们所得到的Poisson 过程的这三条性质来判断定义中的条件（3）是否成立？接下来就证明计数过程满足Poisson 过程定义中的条件（1）和（2）及这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson 过程。

于是得到Poisson 过程的等价定义）定义3.2’: 一计数过程{(),0}N t t ≥λ称为参数为Poisson 的过程，若满足：(1)'(0)0N =；(2)'是独立增量及平稳增量过程，即任取120,n t t t n N <<<<∈,1211()(0),()(),,()()n n N t N N t N t N t N t ----相互独立；,0,0,{()()}{()}s t n P N s t N t n P N t n ∀>≥+-===且 (3)'0,0,t h >>对任意和充分小的有{()()1}()P N t h N t h h λο+-==+(4)'0,0,t h >>对任意和充分小的有{()()2}()P N t h N t h ο+-≥=定理3.1: 3.2 3.2'定义与定义是等价的。

证明： 3.2' 3.2⇒定义定义由增量平稳性，记：(){()}{()()}n P t P N t n P N s t N s n ===+-= （I ）0n =情形：因为{()0}{()0,()()0},0N t h N t N t h N t h +===+-=>我们有：0(){()0,()()0}P t h P N t N t h N t +==+-=00={()0}{()()0}()()P N t P N t h N t P t P h =+-==另一方面0(){()()0}1(())P h P N t h N t h h λο=+-==-+代入上式，我们有：000()()()()P t h P t h P t h h ολ+-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令0h →我们有：0000()()()(0){(0)0}1t P t P t P t e P P N λλ-'=-⎧⇒=⎨===⎩ （II ）0n >情形：因为：{()}{(),()()0}N t h n N t n N t h N t +===+-={()1,()()1}N t n N t h N t =-+-=2{(),()()}n l N t n l N t h N t l =⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦故有：1()()(1())()(())()n n n P t h P t h h P t h h h λολοο-+=--+++化简并令0h →得：1()()()n n n P t P t P t λλ-'=-+两边同乘以t e λ，移项后有：1()()(0){(0)}0t tn n nd e P t e P t dt P P N n λλλ-⎧⎡⎤=⎪⎣⎦⎨⎪===⎩ 当1n =时，有：111(),(0)0()()t td e P t P P t t e dtλλλλ-⎡⎤==⇒=⎣⎦ 由归纳法可得：0()(),!n tn t P t e n N n λλ-=∈注意：{()}{()}E N t E N t t tλλ=⇒=,因此λ代表单位时间内事件A 出现的平均次数。

3.2 3.2'⇒定义定义{()()1}P N t h N t +-={()(0)1}P N h N =-=1()1!hh eλλ-= 0()!nn h h n λλ∞=-=∑(1())h h o h λλ=-+()h o h λ=+--------(3)'——成立。

{()()2}P N t h N t +-≥{()(0)2}P N h N =-≥2()!nhn h en λλ∞-==∑ 2()!n hn h en λλ∞-==∑0()[1]!n hn h e h n λλλ∞-==--∑[1]h h e e h λλλ-=-- 1h h e he λλλ--=--()h ο=---------------------------(4)'——成立。

例3.2：{()0},N t t Poisson λ≥设，服从强度为的过程求(1{(5)4};P N =）(2{(5)4,(7.5)6,(12)9};P N N N ===）(3{(2)9|(5)4}.P N N ==）例3.3：A Poisson λ事件的发生形成强度为的过程{(),0},N t t ≥如果每次事件P 发生时以概率能够被记()M t t 录下来，并以表示时刻记录下来的事件总数，则 {(),0}M t t P Poisson λ≥是一个强度为的过程。

例3.4：,某商场为调查顾客到来的客源情况考察了男女.顾客来商场的人数假设男女顾客到达商场的人数分12Poisson 别是独立服从每分钟人与每分钟人的过程。

(1)到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？(2)50,30t 已知时刻已有人到达的条件下问其中有位是女性顾客的概率有多大？平均有多少女性顾客？作业1：Poisson 设通过某十字路口的车流可以看做过程，1如果分钟内没有车 0.2.辆通过的概率为121（）求分钟内有多于辆车通过的概率。

(2)5在分钟内平均通过的车辆数。

35（）在分钟内平均通过的车辆数方差。

45（）在分钟内至少有一辆车通过的概率。

3.2 Poisson 过程相联系的若干分布教学目的：掌握n X 和n T 的分布；理解事件发生时刻的条件分布。

教学重点：n X ，n T 的分布；事件发生时刻的条件分布。

教学难点：事件发生时刻的条件分布。

{(),0}Poisson N t t ≥过程的一条样本路径一般是1跳跃度为的阶梯型函数。