4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 = ( x x ) 4 x x 2 1 2 1 3
F
将上式两边平方，并化简，得9 x 2 25 y 2 225,
x2 y 2 即 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
2 2 2 2
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
1 x2 y2 已知椭圆 1的离心率 e ，求k 的值 2 k 8 9
解：当椭圆的焦点在
2
思考：
x 轴上时，
2 2 c k 1． b 9 ，得 a k 8 ， 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2 ， a 9 b
2
y
轴上时， ，得 c 1 k ．
例6 点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线 25 4 l : x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。 4 5
y l M o d H x
25 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， 4 MF 4 点M的轨迹就是集合P M , d 5 ( x 4) y 2 4 由此得 . 25 5 x 4
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3
x2 y2 1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )
6 6 k< 时没有交点 3 3
A.没有公共点
C.两个公共点
B.一个公共点
D.有公共点
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
解:∵椭圆
2
2
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
2
2
y 2 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0)
3x 4x 0
2.2.2椭圆的简单几何性质
第二课时
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现 y
y
M
F1
F2
x
M x
图
形
F1
2 2
O
O F2
方 范
程 围
2 2 x y x y 2 1 a b 0 2 2 1 a b 0 2 b a a b |x| a |y|b |x| b |y| a
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
mx 2 nx p 0(m 0)
解：设直线m平行于l，
则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0，得64k 2 - 4 25 （k 2 - 225） 0
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解 :由椭圆方程知 : a 4, b 1, c 3.
2 2 2
的右焦点，
右焦点F ( 3,0).
y x 3 2 x 2 y 1 4
直线l方程为: y x 3. 消y得： 5x2 8 3x 8 0
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
x y 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
2 △ （ 10k） 4(m 5k 2（ ) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
m 0,5k 2 1 m恒成立， 1 - m 0 m 1, 且m 5
解法二 直线y kx 1恒过定点（ 0,1 ）， 且与椭圆总有公共点， 定点必在椭圆上或或者 椭圆内 1 0 1, m 1且m 5 m
已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方程。
解：建立如图所示的直角坐标系， x2 y 2 设所求椭圆方程为 2 1. 2 a b 2 2 在RtBF1 F2中， F2 B F1 B F1 F2 2.82 4.52
c6 ∴ a 10 ，
2 2
x2 y2 1 9 4
，∴ b2 102 62 64
，
2 2 y x x y ． 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
0 ,其长轴长是短轴长 例3 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
2
k 8
1 5 1 k 1 e ，即 k ． 由 ，得 9 4 2 4
5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
【变式与拓展】
3．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120°，则
此椭圆的离心率 e 为( D )
2 A. 2
3 B. 2
1 C.2
6 D. 3
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一 个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点F2.
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
题型二：弦 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
a 0 为长轴端点时， 解：（1）当 A2，
2 ，b 1，
2 ,a 4
0 为短轴端点时，b （2）当A2，
2 2 x y 椭圆的标准方程为： 1 ； 4 1
，
x2 y2 1； 椭圆的标准方程为： 4 16 2 2 x2 y2 x y 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
对称性 焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (a,0) (0,b)
c e 0 e 1 a
(0,c)、(0,c) (b,0) (0,a)
顶
点
离心率
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
2 6
。短轴长是：
30 .离心率等于： 6
它的长轴长是：
焦距是：
2
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40

4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25

y0 2 9
m
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 y 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ?
消去y
x2+4y2=2
因为
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
4 x x2 由韦达定理 1 5 1 x1 x2 5
∆>0
所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
6 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 5
B A F1 C o F2 x y
由椭圆的性质知， F1B F2 B 2a, 所以
1 1 a ( F1 B F2 B ) (2.8 2.82 4.52 ) 4.1 2 2