序言人们很早就知道圆的周长与直径之比是一个常数，数学家们把这一比率用希腊字母π来表示,称之为圆周率。

圆周率π是科技领域中最直观和最主要的常数，它是一个极其驰名的数。

在日常生活中人们经常与π接触，并且从有文字记载开始，圆周率就引进了外行人和学者们的兴趣，古今中外许多科学家在π值计算上献出了自己的智慧和劳动，甚至奉献了自己的一生。

因此，准确计算圆周率的值，不仅直接涉及到π值计算时的需要，而且通过圆周率的数值计算促进了数学的发展。

π值的计算伴随着人类的进步而发展，作为一个非常重要的常数，它最早是解决有关圆的计算问题，所以，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。

早在二千多年前，古希腊著名数学家阿基米德第一个用科学方法度量圆的周长，得出圆周长与直径之比（圆周率）为3.14；我国杰出数学家刘徽（公元前3世纪）提出震惊中外的“割圆术”求出圆周率的近似值为3.1416；南北朝伟大科学家祖冲之又进一步将圆周率计算在介于3.1415926与3.1615927之间的8位可靠数字。

直至1882年德国数学家林德曼证明了π不仅是一个无理数，而且是一个超越数，给几千年来对π的认识历史划上了一个句号……在一般工程应用中，对π值的精度只要求十几位，但是在某些特殊场合需要高精度的圆周率π值。

在信息技术发展迅速的今天，尤其是电脑的发明以来，人们对π的计算位数大大增加, 如今，借助大型计算机对π有效的计算位数已达小数点后的27000亿位；同时π的计算也已成为验证超大型计算机计算效率和工作可靠性的一种有效手段。

尽管目前数学家已经将π值计算出小数点后27000亿位，但是，人们对π的研究还没有完，始终都在追求计算出更为准确的π值，π值里仍有许多未解的谜团。

现在，圆周率的准确程度在一定程度上反映了一个地区和时代的数学水平，因此，π的值还要继续计算下去。

本文通过利用割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等近似计算方法的介绍和计算实验，来综合表述圆周率π的计算方法。

1.圆周率的起源及早期发展1.1圆周率简介圆周率是代表圆周长和直径的比例的一个常数（约等于3.1415926）。

在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算。

早期的圆周率没有确定的字母表示，直至1600年,英国威廉·奥托兰特首先使用π表示圆周率，1737年欧拉在其著作中使用π。

后来被数学家广泛接受,一直沿用至今。

圆周率不仅是一个无理数，而且还是一个超越数。

早在1767年，兰伯特就证明了π是一个无理数；1794年，勒让德证明了π也是无理数；1882年，林德曼证明了π是超越数。

早期是通过实验对π值进行估算的，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。

中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。

他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π 3.16），这被称为“徽率”。

南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。

他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。

1.2 早期的圆周率数学中的圆，溯源到上古的时候，就引起了人类的探索。

《墨经》书中说它是“一中同长也”（“一中”即一个中心或中点。

“一中同长”就是到一个心的点的距离都相等，是对圆的定义）。

成语说：“不以规矩，不成方圆。

”等到人们知道了比例的概念之后，人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。

尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长l 与直径d 之间的比例常数就是圆周率π。

历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果。

古代东方常粗略地用3作为π的值。

我们可以在《旧约·历代志下》第四章（4：2）看到：“他又造一铜海，样式是圆的，径10肘，高5肘，围30肘。

”这说明，当时的希伯来人近似以3作为圆周长与直径之比。

这相当于拿圆的内接正六边形的周长近似圆的周长。

我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆"周三径一"这一结论。

在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做："周三径一，方五斜七"，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。

这正反映了早期人们对圆周率π计。

东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。

在历史上，π从粗略的近似3开始，有不少数学家都对圆周率作出过研究。

魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法（即“割圆术”），求得π的近似值3.1416。

汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。

虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。

王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。

公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。

这个纪录在一千年后才给打破。

约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为3.1415926 3.1415927π<<。

欧洲斐波那契算出圆周率约为3.1418。

2.圆周率的近似计算历程2.1 圆周率的早期计算2.1.1 实验时期通过实验对π值进行估算，这是计算π的的第一阶段。

这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。

早期的人们还使用了其它的粗糙方法。

如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。

或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。

如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。

在印度，公元前六世纪，曾取π= 3.162。

在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。

刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。

为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。

现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。

人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。

蒲丰在《或然性算术实验》一书中，提出了用实验方法计算π。

这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。

这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到π的近似值。

因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。

利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。

在一次实验中，他选取 l = d/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212/704 = 3.142。

当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。

1850年，沃尔夫在投掷5000多次后，得到π的近似值为3.1596。

目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。

在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得π的近似值为3.1415929。

2.1.2 几何法时期——割圆法凭直观推测或实物度量，来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

因此，古人计算圆周率，一般是用割圆法。

即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。

阿基米德真正使圆周率计算建立在科学的基础上。

他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把π的值精确到任意精度的方法。

由此，开创了圆周率计算的第二阶段。

阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的度量》之中。

在这一书中，阿基米德第一次用上、下界来确定π的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。

重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。

到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。

图2.1 割圆术在我国，数学家刘徽率在《九章算术》方田章“圆田术 ”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。

他从圆内接正六边形出发，将边数逐渐加倍，如图 2.1，设圆面积为0S 半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ,周长为n L , 面积为n S 。

将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别记为2n l 、2nL 、2n S 。

当 n l 已知，用勾股定理求出2n l 。

即如图所示得 11222222()[()]222l AE AC CE l r r l n n n==+=+-- (2.1) 求得了内接正n 边形的周长n L ,即可求得正2n 边形的面积：.211()222n n n l r S n AB OE n L r =•=•=• (2.2)刘徽割圆术还注意到，如果在内接n 边形的每条边上作一高为CE 的矩形，就可以证明2022()n n n n S S S S S <<+- (2.3)由此，他从正六边形一值计算到192边形，得出π≈3.14，通常称为“徽率”。

南北朝时期的祖冲之计算出了圆周率数值的上下限：3.1415926 3.1415927π<<，由于史料上没有关于祖冲之推算圆周率“正数”方法的记载，一般认为这个正数的获得是沿用了刘徽的割圆术。

如按刘徽割圆术从正六边形出发连续算到正24576边形时，恰好得到这一结果。

用Mathmatic 计算圆内接6144边形的结果如下：2.2 圆周率的经典计算公式2.2.1 基本计算1 数值积分法⑴ 由定积分 π=+⎰10214dx x 计算出该积分的数值,即可得到π的近似值。

⑵将区间],[b a n 等分，则分点),,1,0(n i i n a b a x i =-+=，计算定积分⎰=b a dx x f S )(。

利用定积分的几何意义，可以将小曲边梯形的面积近似地用矩形、梯形来代替，就有了梯形公式、矩形公式：①矩形公式 左矩形公式∑-=-≈1)(n i i x f n a b S 右矩形公式∑=-≈ni i x f n a b S 1)( 中矩形公式∑-=++-≈101)2(n i i i x x f n a b S ②梯形公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈∑-=1102)()()(n i n i x f x f x f n a b S ＋ 由Mathmatic 编程取n 为1000计算（见附录I(A)），由计算可知，中矩形公式取得的结果最接近圆周率值。