3 投资的收益与风险假设某投资者持有X,Y 股票，对应着未来可能发生的不同宏观经济环境，两只股票的收益率如下表所示：计算投资组合的期望收益率以及期望收益率的方差。

繁荣 一般 萧条 概率 0.3 0.5 0.2 股票X/% 17 12 6 股票Y/% 13109%3.12%62.0%125.0%173.0)(=⨯+⨯+⨯=X r E %7.10%92.0%105.0%133.0)(=⨯+⨯+⨯=Y r E=-⨯+-⨯+-⨯=2222%)3.12%6(2.0%)3.12%12(5.0%)3.12%17(3.0X σ =-⨯+-⨯+-⨯=2222%)7.10%0(2.0%)7.10%10(5.0%)7.10%13(3.0Y σ4最优投资组合与有效边界思考题1、考虑一风险资产组合，年末来自该资产组合的现金流可能为70000或200000美元，概率相等，均为0.5；可供选择的无风险国库券年利率为6％。

（1）如果投资者要求8％的风险溢价，则投资者愿意支付多少钱去购买该资产组合？预期现金流为0.5×70 000+0.5×200 000=135 000元。

风险溢价为8％，无风险利率为6％，要求的回报率为14％。

因此，资产组合的现值为： 135 000／1.14=118 421元 。

（2）假定投资者可以以（1）中的价格购买该资产组合，该投资的期望收益率为多少？如果资产组合以118 421元买入，给定预期的收入为135 000元，而预期的收益率E(r)推导如下：118 421元×[1+E(r)]=135 000元，因此E(r)=14％。

资产组合的价格被设定为等于按要求的回报率折算的预期收益。

（3）假定现在投资者要求12％的风险溢价，则投资者愿意支付的价格是多少？如果国库券的风险溢价现值为12％，要求的回报率为6％+12％=18％。

该资产组合的现值就为135 000元／1.18=114 407元。

（4）比较（1）、（3）的答案，关于投资者所要求的风险溢价与售价之间的关系，投资者有什么结论？对于一给定的现金流，要求有更高的风险溢价的资产组合必须以更低的价格售出。

预期价值的多余折扣相当于风险的罚金。

2、假定一个风险资产投资组合中包含大量的股票，它们有相同的分布，E(r)=15%,标准差0.6，相关系数0.5.（1）含有25种股票的等权重投资组合期望收益和标准差是多少？%72.43]/)1(/[%,15)(2/122=-+==n n n r E p p ρσσσ（2）构造一个标准差小于或等于43%的有效投资组合所需要最少的股票数量为多少？2%^43/)1(/22=-+n n n ρσσ即73.3649/1800,1849180018003600===-+n n n所以至少要37只股票组合才能达到目标。

（3）这一投资组合的系统风险为多少？当n 变得非常大时，等权重有效投资组合的方差将消失，剩下的方差来自股票间的协方差：%23.42%605.02=⨯=⨯=σρσp因此，投资组合的系统风险为43%，非系统风险为57%。

（4）如果国库券的收益率为10%，资本配置的斜率为多少？如果无风险利率为10%，那么不论投资组合的规模多大，风险溢价为15%-10%=5%，充分分散的投资组合的标准差为42.43%，资本配置线的斜率为S=5/42.43=0.1178。

3、设6种资产六种资产的协方差矩阵、投资比重、预期收益率如下表4-15所示，计算投资组合预期收益率和投资组合风险。

表4-15 六种资产的协方差矩阵和投资比重资产1 资产2 资产3 资产4 资产5 资产6 资产1 9.08% 2.08% 3.72% 4.70% 0.43% -1.26% 资产2 2.08% 4.88% 2.88% 2.85% 0.35% 2.41% 资产3 3.72% 2.88% 6.12% 4.79% 0.57% 1.65% 资产4 4.70% 2.85% 4.79% 10.57% 0.48% 0.13% 资产5 0.43% 0.35% 0.57% 0.48% 0.76% -0.33% 资产6-1.26%2.41% 1.65% 0.13% -0.33% 4.13% 各资产的投资比重 0.10 0.20 0.30 0.20 0.10 0.10 预期收益率15%7%8%16%2%6%4股票、债券两种风险资产的有关数据如表4-16所示。

表4-16 有关数据 资产 期望收益率（%） 风险（标准差）（%） 债券D812股票E 13 20其中债券D 和股票E 之间相关系数=0.3。

（1） 求投资组合的期望收益率。

（2） 求使投资组合标准差最小的债券D 和股票E 的投资比例。

（3） 投资组合最小的标准差是多少？（4） 求使投资组合夏普比最大的债券D 和股票E 的投资比例。

（5） 投资组合夏普比最大是多少？5可选择的证券包括两种风险股票基金：A 、B 和短期国库券，所有数据如表4-17所示。

表4-17 数据表期望收益% 标准差% 股票基金A 10 20 股票基金B 30 60 短期国库券5基金A 和基金B 的相关系数为-0.2。

（1） 画出基金A 和基金B 的可行集(5个点)。

基金之间的协方差为B A B A r r σσρ⨯⨯=),cov(=240)60202.0(-=⨯⨯-（2） 找出最优风险投资组合P 及其期望收益与标准差。

最优风险组合的权重为,6818.0=a w 3182.06818.01=-=b w 期望收益和标准差%36.16)303182.0()106818.0()(=⨯+⨯=p r E%13.21)}240(3182.06818.02)603182.0()206818.0{(2/12222=-⨯⨯+⨯+⨯=P σ（3） 找出由短期国库券与投资组合P 支持的资本配置线的斜率。

资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最优风险投资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为5376.0%13.21%5%36.16)(=-=-=pfp r r E S σ（4） 当一个投资者的风险厌恶程度A=5时，应在股票基金A 、B 和短期国库券中各投资多少？在给定的风险厌恶系数A 的条件下投资者愿意投资到最优风险投资组合的比例为5089.013.21*5*01.0536.1601.0)(22=-=-=Pfp A r r E y σ这意味着A=5时的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入50.89%的财产，由于A 、B 两种股票在投资组合的比例分别为68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这两种股票的比例为：股票A ：0.5089*68.18%=34.70% 股票B ：0.5089*31.82%=16.19% 总额：50.89%6雷思有90万元完全分散化的证券组合投资。

随后，她继承了价值10万元的ABC 公司普通股。

她的财务顾问提供了如下预测信息：期望月收益率 月收益标准差 原证券组合 0.67% 2.37% ABC 公司1.25%2.95%ABC 股票与原始证券组合的收益相关系数为0.40。

（1）遗产继承改变了雷思的全部证券组合，她正在考虑是否要继承持有ABC 股票。

假定雷思继续持有ABC 股票，请计算：①包括ABC 股票在内的她的新证券组合的期望收益。

()()()0.90.67%0.1 1.25%0.728%NP OP OP ABC ABC E r E r E r ωω=+=⨯+⨯=②包括ABC 股票在内的原组合收益的协方差。

8.295.237.24.0=⨯⨯=⨯⨯=GS OP Cov σσρ③包括ABC 股票在内的新组合的标准差。

2221/2,22221/2[2()](0.9 2.370.1 2.9520.90.1 2.80)2.2673% 2.27%NP OP OP ABC ABC OP ABC OP ABC Cov σωσωσωω=+⨯+=⨯+⨯+⨯⨯⨯=≈ （2）如果雷思卖掉ABC 股票，她将投资于无风险的月收益率为0.42%的政府债券。

①包括政府债券在内的她的新组合的期望收益。

()()()0.90.67%0.10.42%0.645%NP OP OP GS GS E r E r r ωω=+=⨯+⨯=②政府债券收益与原证券收益组合的协方差。

0 2.3700OP GS Cov r σσ=⨯⨯=⨯⨯=③包括政府债券在内的新组合的标准差。

22221/2,2221/2[2()](0.9 2.370.1020.90.10)2.133% 2.13%NP OP OP GS GS OP GS OP GS Cov σωσωσωω=++=⨯+⨯+⨯⨯⨯=≈ （3）包括政府债券在内的新证券组合与原证券组合的β系数，二者谁高谁低。

加入无风险的政府债券会导致新组合的贝塔值更低。

新组合的贝塔值将是组合内单笔证券的贝塔值的加权平均；无风险证券的加入将降低加权平均值。

（4）雷思经过与丈夫商量后，考虑要卖出10万元的ABC 公司股票，买入10万元的XYZ 公司普通股。

这两种股票的期望收益和标准差都相等。

她丈夫说，是否用XYZ 公司股票替代ABC 公司股票并无区别。

判断她丈夫的说法是否正确？并说明理由。

这个评论不正确。

虽然两种证券的标准差和期望收益率相等，但每种证券原始组合之间的协方差是不知道的，因此，很难得到所说的评论。

比如，如果协方差不同，选择某种证券可能会导致组合更低的标准差。

如果是这样，假设所有其他的因素不变，这个证券将是更好的投资选择。

6指数模型及其应用 思考题1以下数据描绘了一个由三只股票组成的金融市场，而且该市场满足单指数模型。

股票 资本化（元） 贝塔 平均超额收益率% 标准差% A 3000 1.0 10 40 B 1940 0.2 2 30 C13601.71750市场指数组合的标准差为25%，请问：（1） 市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？（2） 股票A 与股票B 之间的协方差为多大？（3） 股票B 与指数之间的协方差为多大？（4） 将股票B 的方差分解为市场和公司特有两部分。

2假设用指数模型估计的股票A 和股票B 的超额收益的结果如下：RA=1%+0.9RM+eARB=-2%+1.1RM+eBSIGM=0.2, SIG(eA)=0.3, SIG(eB)=0.1计算每只股票的标准差和它们之间的协方差。

3对股票A 和股票B 分析估计的指数模型结果如下：RA=12%+0.6RM+eARB=4%+1.4M+eBSIGM=0.26, SIG(eA)=0.2, SIG(eB)=0.1（1） 股票A 和股票B 收益之间的协方差是多少？（2） 每只股票的方差是多少？（3） 将每只股票的方差分类到系统风险和公司特有风险中（4） 每只股票和市场指数的协方差是多少？（5） 两只股票的相关系数是多少？4在一个只有两种股票的资本市场上，股票 A 的资本是股票B 的两倍。