本文讨论了一类递推数列1()n n x f x +=的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果、
运用单调有界性来证明收敛,而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况:
➢ 易知单调递增或递减,需证有上界或下界。

➢ 易知有上界或下界,需证单调递增或递减。

➢ 易知既有上界又有下界,需证单调。

➢ 易知单调,需证既有上界又有下界。

①用导数来求证1()n n x f x +=单调有界性
如果'
()0f x ≥,即函数
()f x 单调递增时,数列{}n x 具有单调性
就是可以肯定的,而研究递增递减那要瞧
1x 跟2x 的比较了(如果
12=x x 的话,那么1n =x x )具体的说
若12x x >时,由12()()f x f x >,那么可以判定{}n x 为减数列。

若12x x <时,由12()()f x f x <,那么可以判定{}n x 为增数列。

例题1、
{}1+12=0,n 1=2-cos ,23n n n x x x x ππ⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
当时，证明数列收敛并且极限值位于，证:记()=2-cos f x x ,则'
()=sin 0f x x >
因为10x =,2=1x ,则120=13x x =<≤,由于[]
()03f x 在，上递增
所以123()()()f x f x f x <<,即2
33x x <≤
那么{}n x 具有单调有界性,上界为3 然后对数列两边取极限,记极限为A 则A -cosA =2、
设函数()=-+cos g x x x 2,其中A 为方程()g x 的根,
由于()g x 在[]03，
上连续,在()03，内可导,则'
()=1-sin 0g x x > 所以函数递增,又由于-4
24-10
()=0,()02236
g g ππππ<=> 所以()g x 的根在223
ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，内。

如果'()0f x ≤,即函数()f x 单调递减时,数列{}n x 肯定不具有
单调性的.但就是,它的奇数项子数列{}21n x -与偶数项子数列{}2n x 都可以瞧作就是通过单调增加函数g (x )、 其中[[]12()()()n n n n g x f f x f x x ++===] 所以肯定具有单调性,而且其增减性恰好相反.
例题1、当1=11x n ≥，时,11
=1+n n
x x +,证明数列{}n x 收敛,并求其极
限值。

证:设函数1
()1+f x x =,则函数在[)0,∞上连续,在[)0,∞内可导,
易知'
2
1
()=-0(1)
f x x <+。

所以1
()1+f x x
=在[)0,∞上递减。

由于123
12=1,=,=23x x x ,可知132x x x >>,又1
()1+f x x
=在[)0,∞上递减。

所以有()()()132f x f x f x <<,即243x x x <<,
所以2
431x x x x <<<
可推得1352n-12n 642......x x x x x x x x >>>>>>>>>
由此可知奇数项子数列{}21n x -单调递减有下界21
=2
x ,偶数项子数列
{}2n x 单调递增有上界1=1x ,则两子数列都收敛。

设奇数项子数列{}21n x -收敛于P,偶数项子数列{}2n x 收敛于Q 。

对11=1+n n x x +两边去极限得:1P=1+Q 1Q=
1+P
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
解方程得P=Q=
2
那么数列{}n x
收敛于
2。

②利用不动点与导数的结合来证单调有界性。

定义:对于函数
()f x ,若存在实数C,使得(C)=C f ,则称C 为
()f x 的不动点。

命题1、设函数
()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且'()0f x >,
(),()f a a f b b >=、设1=x a ,则递推数列1()n n x f x +=收敛。

命题2、设函数
()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且'()0f x >,
()=,()f a a f b b <、设1=b x ,则递推数列1()n n x f x +=收敛。

命题3、如果函数
()f x 在[],a b 有唯一的不动点,那么数列必收敛于
该不动点。

推论:对于递推数列1
n n n ax b x x c ++=+, 如果
1(,123...)ac b a b c x n ≠=、、、都为正数,、、,那么数列收
敛,且收敛于L,
其中L=2。

例题1
、设10x <<, 13(1)
3n n n x x x ++=+ (
1,2,3,n =),求证:
数列{}n x 收敛,并求其极限。

解:数列{}n x 的迭代方程3(1)
()3
x f x x +=+,2
6'()0(3)f x x =>+
f =。

又11()f x x
-111
)
03x x x +=>+,即11()f x x >。

故数列
{}n x
在区间1[x 上满足命题1的条件,于就是数列{}
n x 收敛。

又()f x
在1[x
上有唯一的不动点
,
于就是lim n n x →∞
=。

例题2、 已知函数4
1
2)(2
3
++-=x x x x f ,且存在)21,0(0∈x ,使
00)(x x f =、设01=x ,)(1
n n x f x =+ ,2
1
1=y ,)(1n n y f y =+,其
中 ,2,1=n ,证明:n n n n y y x x x <<<<++101。

证:由数列{}n x 的迭代函数4
1
2)(2
3
++-=x x x x f 得
2
1
23)(2'+
-=x x x f 61)31(32+-=x 0>,
从而在区间),0(0x 上,由命题1的结论得
010x x x n n <<<+,
在区间)2
1
,(0x 上,由命题2的结论得
2
1
10<<<+n n y y x ,
于就是有
n n n n y y x x x <<<<++101.
证毕.
③利用单调性的定义或数学归纳法。

例题1、
设1
a =
, 1n a +=,证明数列
{}n a 极限存在。

[思路:
先试求1n a +=的极限,对两边取极限,解得
lim 2
n x a →∞=,猜想它就是数列的一个上界,那么问题就转
换为证明这个猜想。

] 证:
易从1
n a +=瞧出数列{}n a 递增。

接下来用数学归纳法求证{}n a
有上界
2。

显然12
a =<,
假设n-12a <,便有了
2
n a =<=。

则
{}n a 为单调
递增有上界的数列,故数列
{}n a 收敛。

例题3、
11
11220,,2
a b a b a b +>>==
{}{}n+11,2
n n
n n n a b a b a b ++==一般地证明数列与收敛。

证:利用数学归纳法对n 进行归纳证明,11,0a b +
∀∈≥>n Z 。

当n=1时已知成立。

假设n-110n a b -≥>,
由重要不等式得
:-1-1
n 02
n n n a b a b +=≥>,因此{}n a 数列有下界0,且当2n ≥时,-1-1
n n-102
n n b a a a --=<,故{}n
a 数列 单调递减,即{}n a 数列收敛。

此外由{}n a 数列单调递减,1n 0n a a b ≥≥>,即{}n b 数列有上界1a ,
并且当2n ≥时
,-11n n b b ≥,故{}n b 数列单调递增,即{}n b 数列收敛。