1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
例22012广 东 卷.已 知 数 列an 的 通 项 公 式 为an
3n
1 - 2n
,
且
前n项
和
为S
，
n
求
证:
Sn
•
利用放缩法证明数列型不等式
一.常见的裂项公式
(1)
1 n(n
1)
1 n
n
1
1;
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n
1
1 2n
1);
(3)
1
n1 n.
n1 n
1 nk
n
1 k
(
nk
n)
(4)
2
11
(n 1)n(n 1) n(n 1) n(n 1)
当n
2时 ，Sn
S2
5 4
2
当n
3时 ，Sn
1
1 4
1 ( 2
1) 3
1 ( n-1
1 )
n
5 4
1 2
1 n
7 4
法2 : an
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n1
1) n1
(n 2)
当n 1时 ，Sn S1 1 2
当n
2时 ，Sn
1
1 2
1 ( 1
1 2
1 n
n
1
) 1
7 4
法3 : an
当n 1时 ，Sn S1 1 2
当n
2时 ，Sn
Байду номын сангаас
1
1 ( 1
1 )
2
(
1 2
1 )
3
(
1 n-
1
1 n
)
2
1 n
2
小结:不能求和先放缩，后裂项求和，再放缩。
变式2
(2013广东卷)同上，Sn
7 4
解 : 法1 : an
1 n2
1 n(n 1)
1 n1
1 n
(n 2)
当n 1时 ，Sn S1 1 2
放缩实现目标转化。 （3）二项式定理放缩：与指数有关的数列型不等式。
1
11
(5) 2n (2n 1) 2n 1 2n
(6) n 1 1 (n 1) ! n ! (n 1) !
二、常见放缩方法：
1.裂项放缩
（1）先裂项后放缩
例1.已 知 数 列an 的 通 项 公 式 为an
1 n(n 1)
, 且an的前n项和为Sn，
求证: Sn 1.
解析: an
(1 3
1) 4
1 2
1 (n 1)
1 n
6 1 (1 1 ) 29 3 5 2 2 n 20 2
小结:与指数有关的数列型不等式。
三、课堂小结：
数列型不等式常用的三种放缩技巧： （1）裂项放缩：能求和先求和，再放缩；否则，先放缩为可
裂项形式，后求和。 （2）等比放缩：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次
1 n2
1 n2
1
1 n
1
1 n
1
4
2
2
小结:放大不宜过大，缩小不宜过小，把握放缩的“度”。
2．等比放缩
例22012广 东 卷.已 知 数 列an 的 通 项 公 式 为an
1 3n - 2n
,
且
前n项
和
为S
，
n
求
证:
Sn
3 2
.
解析: an
1 3n - 2n
1 3n1
(n 2)
当n
1时 ，S1