《圆》章节知识点一、圆的概念1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中,定点称为圆心,定长称为半径,以点O为圆心的圆记作“O”,读作“圆O”。
2.确定圆的基本条件:(1)、圆心:定位置,具有唯一性,(2)、半径:定大小。
3.半径相等的两个圆叫做等圆,两个等圆能够完全重合。
4.①连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,②圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号“⋂”表示,圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。
③在同圆或等圆中,能过重合的两条弧叫做等弧。
理解:弧在圆上,弦在圆及圆上:弧为曲线形,弦为直线形。
5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。
6.①三角形的三个顶点确定一个圆,经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆,圆心是三个角的角平分线的交点,他到三条边的距离相等:内心到三顶点的连线平分这三个角。
(补充)圆的集合概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系决定的。
1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内;2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外;解题注意点和圆的位置不确定性。
圆的对称性圆是轴对称图形,他有无数条对称轴,每一条过圆心的直线都是他的对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合,这种性质叫做圆的旋转不变性。
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。
三、直线与圆的位置关系:相交,相切,相离如果圆O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,那么: 1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点; 2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点; 3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点;A四、圆与圆的位置关系设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,那么:外离(图1)⇒无交点⇒d R r>+;外切(图2)⇒有一个交点⇒d R r=+;相交(图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+;内切(图4)⇒有一个交点⇒d R r=-;内含(图5)⇒无交点⇒d R r<-;五、垂径定理(非常重要)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧图4图5以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD解题技巧:在圆中,解有关弦的问题时,常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。
六、圆心角定理顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角(或弧的度数)的一半。
即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论:BD推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
注:忽略一条弦所对的弧有两条,所对的圆周角边有两种不同的角。
八、圆内接四边形一般的,如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆。
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补。
推论:圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。
BABAO即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线(2)性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线,通常叙述为:“见切点连半径得垂直”。
解决与圆的切线有关的问题时,常需要补充的线是作过切点的半径。
九、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅PDBA十二、两圆公共弦定理两圆相切时,连心线必过切点,这一性质是由圆的对称性决定,两个圆组成的图形是轴对称图形,对称轴是经过两圆圆心的直线。
圆公共弦定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图:12O O 垂直平分AB 。
即:∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB注:两圆相交时,依照两圆圆心和公共弦的位置,可分为两种情况:①两圆圆心在公共弦同侧,②两圆圆心在公共弦异侧。
十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:12Rt O O C ∆中,221AB CO =(2)外公切线长:2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
把一个圆分成相等的弧,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做正多边形的外接圆。
经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角,正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距。