数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章第六章 微分中值定理及其应用一、 填空题1.若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→xx x x b a 32lim ________。
2.若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______。
3.曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。
4.设2442-+=x x y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________。
5.=-+→xex xx 10)1(lim___________。
6.设)4)(1()(2--=x xx x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间;7.函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ;8.函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ;9.函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ; 10.函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________; 11.函数xxy 33-=的极大值点是______,极大值是_______。
12.设xxe x f =)(,则函数)()(x fn 在=x _______处取得极小值_________。
13.已知bxax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____。
14.曲线22)3(-=xk y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________。
15.设)2,1()1()(Λ=-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________。
16.设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件; 17.函数xbxx a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值,则______,==b a ;18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________;19.函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________;20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____; 21. 设点)2,1(是曲线ba x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线xe y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x xy -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25.曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。
26.曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________。
二.选择填空1.曲线2)5(35+-=x y 的特点是( )。
A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2.奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且Mx f ≤)(',则( )。
A.M x f ≥)(B.M x f >)(C.M x f ≤)(D.M x f <)( 3.已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则( )。
A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值 4.若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内( )A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根5.已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim 0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f ( )。
A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6.设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则x x f x g )()(=在[)+∞,1内( )A .必存在一点ε,使0)(=εfB .必存在一点ε,使0)(='εfC .单调减少 D. 单调增加 7.设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则( )A .)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值 C .())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点D .)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8.若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处( )A .必取得极小值 B.必取得极大值 C.不可能取得极值 D.是否取得极值不确定 9.设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则( )A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10.曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为( )A.0B.1C.2D.311.)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有( )A .)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f > C.)()()()(b g b f x g x f > D.)()()()(a g a f x g x f > 12.曲线()()211arctan212+-++=x x x x e y x的渐近线有( )A .1条 B.2条 C.3条 D.4条 13.qx xx f ++=2)(3的O 点的个数为( )A .1 B.2 C.3 D.个数与q 有关 14.曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线( )A .只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线 C .无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15.设)(x f y =为0sin =-'+''xey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有( )A .0x 的某个邻域内单调增加B .0x 的某个邻域内单调减少C .0x 处取得极小值D .0x 处取得极大值 16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的().)(A 必要条件)(B 充分条件)(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). )(A );ln(ln x)(Bxln ;)(Cxln 1;)(D)2ln(x -;18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立( ). )(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=- ),(b a ∈ξ; )(B)()()()(2121ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ)(C )()()()(1221ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ )(D)()()()(1212ξf x x x f x f '-=-21x x <<ξ19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则( ) .)(Axx f y ∆'=∆)()(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ )(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ )(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有( ). )(A 0)(≠'x f )(Bxx f =')( )(Cxx f =)()(Dcx f =)((常数)21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有( ).)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根; )(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0( )(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有( ).)(A 0)(<x f)(B)(≤x f)(C)(≥x f)(D)(>x f23. 若032<-b a,则方程0)(23=+++=c bx ax xx f ( ).)(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f (a x >),则方程0)(=x f 在],[+∞a 上( ).)(A 没有实根)(B 有重实根)(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(limx g x f x x →为未定型, 则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(limx g x f x x →也存在的( ).)(A 必要条件)(B 充分条件)(C 充要条件)(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线( ).)(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线; )(B3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线; )(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan212+-++=x x x x ey x的渐近线有( ).)(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ;)(D 4条 ;28. 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a ( )。