立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∥β，a?β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面与平面垂直【典例探究】类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为ABFDEC1A1CA中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BCCC A B ,,11的中点。

（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求证：⊥F B 1平面AEF ；（3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。

二、线面平行与垂直的性质例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC ==ABC A 1B 1C 1MN（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．例4、如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，.31= （I ）求证：PC BC ⊥； （II ）求三棱锥C —DEG 的体积；（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。

若存在，求AM 的长；否则，说明理21（2） 求三棱锥E PBC -的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB DE BAD DC AB ⊥︒=∠==,45,1,3（如图1）。

现将ADE ∆沿DE 折起，使得EB AE ⊥（如图2），连结AB AC ,。

ABEPDC（I ）求证：平面⊥ADE 平面ACD ；（II ）试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比1:2:=MECB ADCME V V ；（III ）在点M 满足（II ）的情况下，判断直线AD 是否平行于平面EMC ，并说明理由。

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E 为PD 中点.（I ）求证：PB//平面AEC ；（II ）求四棱锥C PAB -的体积； （Ⅲ）若F 为侧棱PA 上一点，且λ=FAPF，则λ为何值时，⊥PA 平面BDF.【变式4】如图1所示，正ABC ∆的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点。

现将ABC ∆沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD （如图2）（1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥C-DEF 的体积。

四、立体几何中的最值问题例7.图4，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A= AB=2.图1图2(1)求证: BC⊥平面AAC；1-ABC的体积的最大值. (2)求三棱锥A1F又由（1）∴知,⊥∴AP PBMD AP⊥⊥平面，又已知AP PC⊥∴AP PBC∴AP BC ⊥，又∵AC BC ⊥∴BC APC ⊥平面,∴平面ABC ⊥平面PAC ,（Ⅲ）∵20AB =，∴10MB =,∴10PB =又4BC =，PC ===1AB A =，⊥平面ABB 1因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以1//NG BB ，112NG BB =. 又因为1//CM BB ，112CM BB =， BB 1所以//CM NG ，CM NG =.所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分所以11MN M N 1124423223B A AB V V --==⨯⨯⨯⨯=. ………………………… 13分 变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证1AF B F ⊥，在根据勾股定理的逆定理证明1B F EF ⊥；（3）由于点D 是线段1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。

【解析】（1）取AB 中点O ，连接DO CO ,∴=∴=,,//,21,//11CE DO CE DO AA DO AA DO 平行四边形DOCE ，⊄∴DE CO DE ,//平面ABC ，⊂CO 平面ABC ，//DE ∴平面ABC 。

（4分）（2）等腰直角三角形ABC ∆中F 为斜边的中点，BC AF ⊥∴ 又 直三棱柱111C B A ABC -，∴面⊥ABC 面C C BB 11，⊥∴AF 面B C 1，F B AF 1⊥∴O PD C BA设EF F B E B EF F B E B EF F B AA AB ⊥∴=+∴===∴==121221111,,23,23,26,1 又,F EF AF = ⊥∴F B 1面AEF 。

（8分）（3）由于点D 是线段1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12。

中，的体. 分（2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分∵PAD △是边长为2的等边三角形， ∴PO =.由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中，斜边AB 边上的高为45AD BD h AB ⨯==. …… 8分∵AB DC ∥，∴114552225ACD S CD h =⨯=⨯⨯=△. …… 10分 ∴112323333A PCD P ACD ACD V V S PO --==⨯=⨯⨯=△. …… 14分 例4、（I ）证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PDICE=D ， ∴BC ⊥平面PCD又∵PC ⊂面PBC ，∴PC ⊥BC（II ）解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G —DEC 的高。

∵E 是PC 的中点，1)2221(212121=⋅⋅⋅===∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S （III ）连结AC ，取A C 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，则PA//平面MEG 。

下面证明之∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，∴EO//平面PA ，又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ，∴PA//平面MEG在正方形ABCD 中，∵O 是AC 中点，OCG ∆∴≌OAM ∆,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32变式2.证明：(Ⅰ)直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC . 又∵∠BAD =∠ADC =90°，AB =2AD =2CD =2， ∴AC =2，∠CAB =45°，∴BC =2，∴BC ⊥AC .又BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C . (Ⅱ)存在点P ，P 为A 1B 1的中点。

证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1=21AB . 又∵DC ∥AB ，DC =21AB ，∴DC ∥PB 1，且DC =PB 1， ∴DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP .又CB 1∥⊂ACB 1,DP ⊄面ACB 1，∴DP ∥面ACB 1. 同理，DP ∥面BCB 1.例5、（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥面ABCD， PA ∥EB ，2 4.PA EB ==,PA AD =F 为PD 中点，.PD AF ∴⊥又,,CD DA CD PA ⊥⊥,CD AF ∴⊥AF ⊥面PCD 。

（2）取PC 的中点M ，AC 与BD 的交点为N ，1,2MN PA ∴=MN ∥PA ， ABEPDC 442244 4 正视图 侧视图,MN EB ∴=MN ∥EB ，故BEMN 为平行四边形，EM ∴∥BN ，BD ∴∥面PEC 。

（3）1116()323E PBC C PBE V V BE AB BC --=== 例6.答案略变式3.解：（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD 为菱形,棱锥的高为3,设AC BD O ⋂=,则PO 即是棱锥的高,底面边长是2，连接OE ，,E O 分别是,DP DB 的中点，OE ∴∥BP ，,OE AEC BP AEC ⊂⊄面面PB ∴∥AEC 面（2）1111(223)332232V V V ⎡⎤===⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦三棱锥C-PAB 三棱锥P-ABC 四棱锥P-ABCD（3）过O 作3,,3,3,232OF PA POA PO AO PA AF ⊥===∴=在Rt 中----10分 :3,,PF FA OF PA λ∴=⊥时即=3时---------------12分,BD PA OF PA BD OF O PA BDF ∴⊥⊥⋂=∴⊥由且面---------------14分变式4.解：（1）判断：AB//平面DEF………………………………………………..2分证明：因在ABC∆中，E，F分别是AC，BC的中点，有EF//AB………………..5分ACD面EM＝1122AD a=……………………………………………………………………11分故三棱锥C-DEF的体积为四、立体几何中的最值问题图（2）图（1）CD例7.证明:∵C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC ⊥AC, ……2分∵AA 1⊥平面ABC ，BC?平面ABC ，∴AA 1⊥BC ， ……4分解法2: 在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2=4， ……7分1A -ABC ABC 11111V =SAA AC BC AA 332⋅=⋅⋅⋅⋅ ……9分 22211AC BC 1AB 2AC BC 332323+=⋅≤⋅=⋅=. ……11分 图4ABC A 1当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时2.例8.解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f 则232)(2x x f -='单调递增极大值单调递减由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。